Упр.861 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство BD = CEС пояснением
1) Так как DE параллельна биссектрисе угла A, то углы ADE и AED равны. Следовательно, треугольник ADE равнобедренный и AD = AE.2) Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой DME:
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.3) Точка M — середина BC, поэтому BM = MC. Кроме того, AD = AE. Значит,
CE/DB = 1,
то есть CE = DB.Ответ: BD = CE, что и требовалось доказать.
Кратко Так как DE параллельна биссектрисе угла A, то ∠ADE = ∠AED, поэтому AD = AE.По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой DME:
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.Поскольку BM = MC и AD = AE, получаем BD = CE.Ответ: BD = CE.
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.3) Точка M — середина BC, поэтому BM = MC. Кроме того, AD = AE. Значит,
CE/DB = 1,
то есть CE = DB.Ответ: BD = CE, что и требовалось доказать.
Кратко Так как DE параллельна биссектрисе угла A, то ∠ADE = ∠AED, поэтому AD = AE.По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой DME:
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.Поскольку BM = MC и AD = AE, получаем BD = CE.Ответ: BD = CE.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равносторонность треугольника из серединС пояснением
Обозначим через M, N и P середины отрезков OA, OD и BC соответственно.1) Так как AB ∥ CD, треугольники AOB и COD подобны. Из OA = OB следует OC = OD. Кроме того, ∠COD = ∠AOB = 60°, поэтому треугольник COD также равносторонний.2) Пусть OA = a, OC = b. Введём координаты с началом в точке O и осью Ox вдоль OA. Тогда
A(a; 0), B(a/2; √3a/2),
C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).3) Координаты середин:
M(a/2; 0),
N(−b/4; −√3b/4),
P(a/4 − b/2; √3a/4).4) По теореме Пифагора:
MN² = (a/2 + b/4)² + (√3b/4)² = (a² + ab + b²)/4;
MP² = (a/4 + b/2)² + (√3a/4)² = (a² + ab + b²)/4;
NP² = (a/4 − b/4)² + (√3(a + b)/4)² = (a² + ab + b²)/4.Следовательно, MN² = MP² = NP², значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
Кратко Пусть M, N и P — середины OA, OD и BC. Треугольники AOB и COD подобны, поэтому из OA = OB получаем OC = OD. Следовательно, COD тоже равносторонний.Обозначим OA = a, OC = b и введём координаты:
A(a; 0), B(a/2; √3a/2), C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).
Тогда
M(a/2; 0), N(−b/4; −√3b/4), P(a/4 − b/2; √3a/4).По формуле расстояния:
MN² = MP² = NP² = (a² + ab + b²)/4.
Значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
A(a; 0), B(a/2; √3a/2),
C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).3) Координаты середин:
M(a/2; 0),
N(−b/4; −√3b/4),
P(a/4 − b/2; √3a/4).4) По теореме Пифагора:
MN² = (a/2 + b/4)² + (√3b/4)² = (a² + ab + b²)/4;
MP² = (a/4 + b/2)² + (√3a/4)² = (a² + ab + b²)/4;
NP² = (a/4 − b/4)² + (√3(a + b)/4)² = (a² + ab + b²)/4.Следовательно, MN² = MP² = NP², значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
Кратко Пусть M, N и P — середины OA, OD и BC. Треугольники AOB и COD подобны, поэтому из OA = OB получаем OC = OD. Следовательно, COD тоже равносторонний.Обозначим OA = a, OC = b и введём координаты:
A(a; 0), B(a/2; √3a/2), C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).
Тогда
M(a/2; 0), N(−b/4; −√3b/4), P(a/4 − b/2; √3a/4).По формуле расстояния:
MN² = MP² = NP² = (a² + ab + b²)/4.
Значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В треугольнике ABC (АВ не равен АС) через середину М стороны ВС проведена прямая, Рис. 269 параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.
Задание учебника 2023 года
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторонний.
