Упр.872 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что четырёхугольник — параллелограммС пояснением
Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD, а K — середина диагонали AC.1) В треугольнике ABC отрезки MK и NK — средние линии, поэтому
MK = BC/2, NK = AB/2.2) В треугольнике ACD отрезки KP и KQ — средние линии, поэтому
KP = AD/2, KQ = CD/2.3) По неравенству треугольника:
MP ≤ MK + KP = (BC + AD)/2,
NQ ≤ NK + KQ = (AB + CD)/2.
Следовательно,
MP + NQ ≤ (AB + BC + CD + AD)/2.4) По условию здесь достигается равенство. Значит, равенства выполняются в обоих неравенствах треугольника. Поэтому точки M, K, P лежат на одной прямой, а точки N, K, Q — на другой прямой.5) Так как MK ∥ BC и KP ∥ AD, то BC ∥ AD. Аналогично NK ∥ AB и KQ ∥ CD, поэтому AB ∥ CD.Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, он является параллелограммом.Ответ: четырёхугольник — параллелограмм.
Кратко Обозначим середины AB, BC, CD, DA через M, N, P, Q, а середину AC — через K. По свойству средней линии:
MK = BC/2, KP = AD/2, NK = AB/2, KQ = CD/2.По неравенству треугольника:
MP ≤ (BC + AD)/2,
NQ ≤ (AB + CD)/2.Их сумма по условию равна половине периметра, поэтому оба неравенства обращаются в равенства. Значит, M, K, P лежат на одной прямой и N, K, Q лежат на одной прямой. Отсюда BC ∥ AD и AB ∥ CD.Ответ: ABCD — параллелограмм.
MK = BC/2, NK = AB/2.2) В треугольнике ACD отрезки KP и KQ — средние линии, поэтому
KP = AD/2, KQ = CD/2.3) По неравенству треугольника:
MP ≤ MK + KP = (BC + AD)/2,
NQ ≤ NK + KQ = (AB + CD)/2.
Следовательно,
MP + NQ ≤ (AB + BC + CD + AD)/2.4) По условию здесь достигается равенство. Значит, равенства выполняются в обоих неравенствах треугольника. Поэтому точки M, K, P лежат на одной прямой, а точки N, K, Q — на другой прямой.5) Так как MK ∥ BC и KP ∥ AD, то BC ∥ AD. Аналогично NK ∥ AB и KQ ∥ CD, поэтому AB ∥ CD.Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, он является параллелограммом.Ответ: четырёхугольник — параллелограмм.
Кратко Обозначим середины AB, BC, CD, DA через M, N, P, Q, а середину AC — через K. По свойству средней линии:
MK = BC/2, KP = AD/2, NK = AB/2, KQ = CD/2.По неравенству треугольника:
MP ≤ (BC + AD)/2,
NQ ≤ (AB + CD)/2.Их сумма по условию равна половине периметра, поэтому оба неравенства обращаются в равенства. Значит, M, K, P лежат на одной прямой и N, K, Q лежат на одной прямой. Отсюда BC ∥ AD и AB ∥ CD.Ответ: ABCD — параллелограмм.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить треугольник по сторонам и биссектрисеС пояснением
Пусть даны стороны b и c и длина биссектрисы l угла между ними.1) Постройте отрезок x, являющийся средним пропорциональным между b и c: x² = bc.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l. Его второй катет обозначьте y. Тогда y² = bc − l².
3) С помощью подобных треугольников постройте отрезок a из пропорции x : y = (b + c) : a, то есть a = (b + c)y/x.
4) Постройте треугольник ABC по трём сторонам: AB = c, AC = b, BC = a. Для этого проведите BC = a, затем окружности с центрами B и C радиусов c и b. Точку их пересечения обозначьте A.
5) Проведите биссектрису AD угла BAC.Проверка: для биссектрисы угла между сторонами b и c выполняется
l² = bc(1 − a²/(b + c)²).
По построению a/(b + c) = y/x, поэтому
bc(1 − a²/(b + c)²) = x²(1 − y²/x²) = x² − y² = l².
Следовательно, AD = l, а построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.Ответ: треугольник ABC построен по сторонам b, c и биссектрисе l.
Кратко Пусть данные стороны равны b и c, а биссектриса — l.
1) Постройте x = √(bc) как среднее пропорциональное между b и c.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l; второй катет равен y = √(bc − l²).
3) По пропорции x : y = (b + c) : a постройте третью сторону a.
4) По трём сторонам AB = c, AC = b, BC = a постройте треугольник ABC.Ответ: полученный треугольник имеет заданные стороны b, c и биссектрису l угла между ними.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l. Его второй катет обозначьте y. Тогда y² = bc − l².
3) С помощью подобных треугольников постройте отрезок a из пропорции x : y = (b + c) : a, то есть a = (b + c)y/x.
4) Постройте треугольник ABC по трём сторонам: AB = c, AC = b, BC = a. Для этого проведите BC = a, затем окружности с центрами B и C радиусов c и b. Точку их пересечения обозначьте A.
5) Проведите биссектрису AD угла BAC.Проверка: для биссектрисы угла между сторонами b и c выполняется
l² = bc(1 − a²/(b + c)²).
По построению a/(b + c) = y/x, поэтому
bc(1 − a²/(b + c)²) = x²(1 − y²/x²) = x² − y² = l².
Следовательно, AD = l, а построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.Ответ: треугольник ABC построен по сторонам b, c и биссектрисе l.
Кратко Пусть данные стороны равны b и c, а биссектриса — l.
1) Постройте x = √(bc) как среднее пропорциональное между b и c.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l; второй катет равен y = √(bc − l²).
3) По пропорции x : y = (b + c) : a постройте третью сторону a.
4) По трём сторонам AB = c, AC = b, BC = a постройте треугольник ABC.Ответ: полученный треугольник имеет заданные стороны b, c и биссектрису l угла между ними.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Задание учебника 2023 года
Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
