Упр.868 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенства для высоты к гипотенузеС пояснением
Обозначим AC = a, BC = b, AB = c. По теореме Пифагора c² = a² + b².Треугольники AED и ACB подобны, поэтому
AE/AC = AD/AB.
Так как AC² = AB · AD, то AD = a²/c. Следовательно,
AE = a · a²/c : c = a³/c².Аналогично из подобия треугольников BFD и BCA получаем
BF = b³/c².Из равенства площадей треугольника ABC:
a · b/2 = c · CD/2,
поэтому CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = a³b³/c³ = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = a⁶/c⁴ + b⁶/c⁴ + 3a²b²/c² =
= (a⁶ + b⁶ + 3a²b²(a² + b²))/c⁴ =
= (a² + b²)³/c⁴ = c⁶/c⁴ = c² = AB².в) Это равенство в условии неверно. Например, пусть AC = BC = 1. Тогда AB = √2, а
AE = BF = 1/(√2)² = 1/2.
Следовательно,
√(AE²) + √(BF²) = AE + BF = 1,
но √(AB²) = AB = √2.Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно, вероятно, в условии допущена опечатка.
Кратко Пусть AC = a, BC = b, AB = c. Тогда c² = a² + b². Из подобия треугольников и формулы площади:
AE = a³/c², BF = b³/c², CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = (a² + b²)³/c⁴ = c² = AB².в) Утверждение неверно. При AC = BC = 1 получаем AE = BF = 1/2 и AB = √2, поэтому
√(AE²) + √(BF²) = 1 ≠ √2 = √(AB²).Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно.
AE/AC = AD/AB.
Так как AC² = AB · AD, то AD = a²/c. Следовательно,
AE = a · a²/c : c = a³/c².Аналогично из подобия треугольников BFD и BCA получаем
BF = b³/c².Из равенства площадей треугольника ABC:
a · b/2 = c · CD/2,
поэтому CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = a³b³/c³ = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = a⁶/c⁴ + b⁶/c⁴ + 3a²b²/c² =
= (a⁶ + b⁶ + 3a²b²(a² + b²))/c⁴ =
= (a² + b²)³/c⁴ = c⁶/c⁴ = c² = AB².в) Это равенство в условии неверно. Например, пусть AC = BC = 1. Тогда AB = √2, а
AE = BF = 1/(√2)² = 1/2.
Следовательно,
√(AE²) + √(BF²) = AE + BF = 1,
но √(AB²) = AB = √2.Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно, вероятно, в условии допущена опечатка.
Кратко Пусть AC = a, BC = b, AB = c. Тогда c² = a² + b². Из подобия треугольников и формулы площади:
AE = a³/c², BF = b³/c², CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = (a² + b²)³/c⁴ = c² = AB².в) Утверждение неверно. При AC = BC = 1 получаем AE = BF = 1/2 и AB = √2, поэтому
√(AE²) + √(BF²) = 1 ≠ √2 = √(AB²).Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что AM — среднее пропорциональное MN и MPС пояснением
1) Рассмотрим треугольники MND и MAB. У них углы при M равны, а ∠MND = ∠MAB, так как ND ∥ AB. Значит, △MND ∼ △MAB, поэтому
MN/AM = MD/MB.2) Рассмотрим треугольники MPB и MAD. У них углы при M равны, а ∠MPB = ∠MAD, так как PB ∥ AD. Значит, △MPB ∼ △MAD, поэтому
MP/AM = MB/MD.3) Перемножим равенства:
MN/AM · MP/AM = MD/MB · MB/MD = 1.
Следовательно,
MN · MP = AM²,
то есть AM является средним пропорциональным между MN и MP.Ответ: AM² = MN · MP.
Кратко △MND ∼ △MAB, поэтому MN/AM = MD/MB.
△MPB ∼ △MAD, поэтому MP/AM = MB/MD.
Перемножая равенства, получаем:
MN · MP/AM² = 1,
откуда AM² = MN · MP.Ответ: AM — среднее пропорциональное между MN и MP.
MN/AM = MD/MB.2) Рассмотрим треугольники MPB и MAD. У них углы при M равны, а ∠MPB = ∠MAD, так как PB ∥ AD. Значит, △MPB ∼ △MAD, поэтому
MP/AM = MB/MD.3) Перемножим равенства:
MN/AM · MP/AM = MD/MB · MB/MD = 1.
Следовательно,
MN · MP = AM²,
то есть AM является средним пропорциональным между MN и MP.Ответ: AM² = MN · MP.
Кратко △MND ∼ △MAB, поэтому MN/AM = MD/MB.
△MPB ∼ △MAD, поэтому MP/AM = MB/MD.
Перемножая равенства, получаем:
MN · MP/AM² = 1,
откуда AM² = MN · MP.Ответ: AM — среднее пропорциональное между MN и MP.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что:
а) CD3 = АВ x АЕ x BF;
б) АЕ2 + BF2 + 3CD2 = АВ2;
в) кореньAE2 + кореньBF2 = кореньAB2.
Задание учебника 2023 года
Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между MN и МР.
