Упр.855 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать параллельность прямых BE и CTС пояснением
1) Возьмём направления диагоналей AC и BD за координатные направления, а отрезки OA и OB — за единичные, где O — точка пересечения диагоналей. Тогда
A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d),
где c = OC/OA, d = OD/OB.Такие координаты можно использовать и для неперпендикулярных направлений: координаты точки определяются с помощью прямых, параллельных AC и BD. Уравнение прямой, проходящей через точки (p; 0) и (0; q), имеет вид x/p + y/q = 1; это следует из подобия треугольников.2) Пусть прямая MK, проходящая через O, задаётся соотношением y = sx. Так как M лежит на AB, а прямая AB имеет уравнение x + y = 1, получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)).3) Для прямой CD имеем x/c + y/d = −1. Поэтому для точки K, лежащей одновременно на CD и на y = sx, получаем
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).4) Прямая ME параллельна CD, поэтому для всех её точек величина x/c + y/d постоянна. Так как E лежит на AC, её вторая координата равна нулю. Следовательно,
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0).
Обозначим первую координату E через e.5) Прямая KT параллельна AB, поэтому на ней постоянна сумма x + y. Точка T лежит на BD, то есть её первая координата равна нулю. Поэтому
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).
Обозначим вторую координату T через t.6) Перемножим найденные координаты:
et = (d + cs)/(d(1 + s)) · (−cd(1 + s)/(d + cs)) = −c.
Значит, (e; −1) и (c; t) — пропорциональные пары координат. Это направляющие пары для прямых BE и CT соответственно. Следовательно, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Возьмём направления AC и BD за координатные и положим A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d).Пусть MK задаётся равенством y = sx. Тогда из условий M ∈ AB и K ∈ CD получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)),
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).Из ME ∥ CD и KT ∥ AB следует
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0),
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).Если координаты E и T обозначить через e и t, то et = −c. Поэтому направляющие пары (e; −1) для BE и (c; t) для CT пропорциональны. Значит, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d),
где c = OC/OA, d = OD/OB.Такие координаты можно использовать и для неперпендикулярных направлений: координаты точки определяются с помощью прямых, параллельных AC и BD. Уравнение прямой, проходящей через точки (p; 0) и (0; q), имеет вид x/p + y/q = 1; это следует из подобия треугольников.2) Пусть прямая MK, проходящая через O, задаётся соотношением y = sx. Так как M лежит на AB, а прямая AB имеет уравнение x + y = 1, получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)).3) Для прямой CD имеем x/c + y/d = −1. Поэтому для точки K, лежащей одновременно на CD и на y = sx, получаем
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).4) Прямая ME параллельна CD, поэтому для всех её точек величина x/c + y/d постоянна. Так как E лежит на AC, её вторая координата равна нулю. Следовательно,
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0).
Обозначим первую координату E через e.5) Прямая KT параллельна AB, поэтому на ней постоянна сумма x + y. Точка T лежит на BD, то есть её первая координата равна нулю. Поэтому
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).
Обозначим вторую координату T через t.6) Перемножим найденные координаты:
et = (d + cs)/(d(1 + s)) · (−cd(1 + s)/(d + cs)) = −c.
Значит, (e; −1) и (c; t) — пропорциональные пары координат. Это направляющие пары для прямых BE и CT соответственно. Следовательно, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Возьмём направления AC и BD за координатные и положим A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d).Пусть MK задаётся равенством y = sx. Тогда из условий M ∈ AB и K ∈ CD получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)),
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).Из ME ∥ CD и KT ∥ AB следует
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0),
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).Если координаты E и T обозначить через e и t, то et = −c. Поэтому направляющие пары (e; −1) для BE и (c; t) для CT пропорциональны. Значит, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенства для высоты к гипотенузеС пояснением
Обозначим AC = a, BC = b, AB = c. По теореме Пифагора c² = a² + b².Треугольники AED и ACB подобны, поэтому
AE/AC = AD/AB.
Так как AC² = AB · AD, то AD = a²/c. Следовательно,
AE = a · a²/c : c = a³/c².Аналогично из подобия треугольников BFD и BCA получаем
BF = b³/c².Из равенства площадей треугольника ABC:
a · b/2 = c · CD/2,
поэтому CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = a³b³/c³ = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = a⁶/c⁴ + b⁶/c⁴ + 3a²b²/c² =
= (a⁶ + b⁶ + 3a²b²(a² + b²))/c⁴ =
= (a² + b²)³/c⁴ = c⁶/c⁴ = c² = AB².в) Это равенство в условии неверно. Например, пусть AC = BC = 1. Тогда AB = √2, а
AE = BF = 1/(√2)² = 1/2.
Следовательно,
√(AE²) + √(BF²) = AE + BF = 1,
но √(AB²) = AB = √2.Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно, вероятно, в условии допущена опечатка.
Кратко Пусть AC = a, BC = b, AB = c. Тогда c² = a² + b². Из подобия треугольников и формулы площади:
AE = a³/c², BF = b³/c², CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = (a² + b²)³/c⁴ = c² = AB².в) Утверждение неверно. При AC = BC = 1 получаем AE = BF = 1/2 и AB = √2, поэтому
√(AE²) + √(BF²) = 1 ≠ √2 = √(AB²).Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно.
AE/AC = AD/AB.
Так как AC² = AB · AD, то AD = a²/c. Следовательно,
AE = a · a²/c : c = a³/c².Аналогично из подобия треугольников BFD и BCA получаем
BF = b³/c².Из равенства площадей треугольника ABC:
a · b/2 = c · CD/2,
поэтому CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = a³b³/c³ = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = a⁶/c⁴ + b⁶/c⁴ + 3a²b²/c² =
= (a⁶ + b⁶ + 3a²b²(a² + b²))/c⁴ =
= (a² + b²)³/c⁴ = c⁶/c⁴ = c² = AB².в) Это равенство в условии неверно. Например, пусть AC = BC = 1. Тогда AB = √2, а
AE = BF = 1/(√2)² = 1/2.
Следовательно,
√(AE²) + √(BF²) = AE + BF = 1,
но √(AB²) = AB = √2.Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно, вероятно, в условии допущена опечатка.
Кратко Пусть AC = a, BC = b, AB = c. Тогда c² = a² + b². Из подобия треугольников и формулы площади:
AE = a³/c², BF = b³/c², CD = ab/c.а) AB · AE · BF = c · a³/c² · b³/c² = (ab/c)³ = CD³.б) AE² + BF² + 3CD² = (a² + b²)³/c⁴ = c² = AB².в) Утверждение неверно. При AC = BC = 1 получаем AE = BF = 1/2 и AB = √2, поэтому
√(AE²) + √(BF²) = 1 ≠ √2 = √(AB²).Ответ: а) и б) доказаны; в) равенство неверно.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.
Задание учебника 2023 года
Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что:
а) CD3 = АВ x АЕ x BF;
б) АЕ2 + BF2 + 3CD2 = АВ2;
в) кореньAE2 + кореньBF2 = кореньAB2.
