Упр.856 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти угол BKM через угол BAC = αС пояснением
1) Опустим из точек M и C перпендикуляры на прямую BA. Полученные прямоугольные треугольники подобны, поэтому их высоты относятся как BM : BC.2) Так как площади треугольников BDM и BCK равны, то
BD · BM = BK · BC,
откуда BM : BC = BK : BD.3) Угол MBK равен углу CBD. Следовательно, треугольники BMK и BCD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∠BKM = ∠BDC.4) По условию AD = AC, значит, треугольник ACD равнобедренный. Угол BAC — внешний угол этого треугольника при вершине A, поэтому
∠ADC = ∠ACD = α : 2.
Так как лучи DB и DA совпадают, ∠BDC = ∠ADC = α : 2.Ответ: ∠BKM = α/2.
Кратко Из равенства площадей получаем BD · BM = BC · BK, поэтому BM : BC = BK : BD. Так как ∠MBK = ∠CBD, треугольники BMK и BCD подобны. Значит, ∠BKM = ∠BDC.В равнобедренном треугольнике ACD имеем AD = AC, а его внешний угол BAC = α. Поэтому ∠BDC = ∠ADC = α/2.Ответ: ∠BKM = α/2.
BD · BM = BK · BC,
откуда BM : BC = BK : BD.3) Угол MBK равен углу CBD. Следовательно, треугольники BMK и BCD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∠BKM = ∠BDC.4) По условию AD = AC, значит, треугольник ACD равнобедренный. Угол BAC — внешний угол этого треугольника при вершине A, поэтому
∠ADC = ∠ACD = α : 2.
Так как лучи DB и DA совпадают, ∠BDC = ∠ADC = α : 2.Ответ: ∠BKM = α/2.
Кратко Из равенства площадей получаем BD · BM = BC · BK, поэтому BM : BC = BK : BD. Так как ∠MBK = ∠CBD, треугольники BMK и BCD подобны. Значит, ∠BKM = ∠BDC.В равнобедренном треугольнике ACD имеем AD = AC, а его внешний угол BAC = α. Поэтому ∠BDC = ∠ADC = α/2.Ответ: ∠BKM = α/2.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найдите углы четырёхугольника ABCDС пояснением
1) Обозначим ∠ADP = ∠PDC = x. Тогда ∠ADC = 2x.2) Так как AD = CD, треугольник ADC равнобедренный. Поэтому ∠CAD = ∠ACD. Поскольку P лежит на AC, ∠CAD = ∠PAD. По условию ∠PAD = 3x/2.3) По сумме углов треугольника ADC:
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
5x = 180°,
x = 36°.
Значит, ∠ADC = 72°.4) В треугольнике ADB стороны AD и BD равны, поэтому
∠DAB = ∠ABD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Следовательно, угол четырёхугольника при A равен 72°.5) В треугольнике DBC стороны BD и CD равны, поэтому
∠DBC = ∠BCD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Отсюда угол при C равен 72°, а угол при B:
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
Кратко Пусть ∠ADP = ∠PDC = x. Так как AD = CD, то в равнобедренном треугольнике ADC:
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
откуда x = 36°, а ∠D = 72°.Из AD = BD = CD следует:
∠A = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠C = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠B = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
5x = 180°,
x = 36°.
Значит, ∠ADC = 72°.4) В треугольнике ADB стороны AD и BD равны, поэтому
∠DAB = ∠ABD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Следовательно, угол четырёхугольника при A равен 72°.5) В треугольнике DBC стороны BD и CD равны, поэтому
∠DBC = ∠BCD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Отсюда угол при C равен 72°, а угол при B:
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
Кратко Пусть ∠ADP = ∠PDC = x. Так как AD = CD, то в равнобедренном треугольнике ADC:
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
откуда x = 36°, а ∠D = 72°.Из AD = BD = CD следует:
∠A = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠C = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠B = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если угол BAC = а.
Задание учебника 2023 года
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол ADP = угол PDC, угол.ADP = 2/3 угол PAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника. б) Докажите, что АВ2 = ВР x BD.
