Упр.857 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти MA по расстояниям до остальных вершинС пояснением
1) Опустим из точки M перпендикуляры на стороны прямоугольника. Обозначим расстояния от M до сторон AB и AD через x и y, а стороны прямоугольника — через p и q.2) По теореме Пифагора:
MA² = x² + y²,
MB² = x² + (p − y)²,
MC² = (q − x)² + (p − y)²,
MD² = (q − x)² + y².3) Складывая первое и третье равенства, а также второе и четвёртое, получаем:
MA² + MC² = MB² + MD².4) Подставим данные:
MA² + b² = a² + c²,
MA² = a² + c² − b².Следовательно,
MA = √(a² + c² − b²).Ответ: √(a² + c² − b²).
Кратко Для точки внутри прямоугольника:
MA² + MC² = MB² + MD².MA² + b² = a² + c²,
MA = √(a² + c² − b²).Ответ: √(a² + c² − b²).
MA² = x² + y²,
MB² = x² + (p − y)²,
MC² = (q − x)² + (p − y)²,
MD² = (q − x)² + y².3) Складывая первое и третье равенства, а также второе и четвёртое, получаем:
MA² + MC² = MB² + MD².4) Подставим данные:
MA² + b² = a² + c²,
MA² = a² + c² − b².Следовательно,
MA = √(a² + c² − b²).Ответ: √(a² + c² − b²).
Кратко Для точки внутри прямоугольника:
MA² + MC² = MB² + MD².MA² + b² = a² + c²,
MA = √(a² + c² − b²).Ответ: √(a² + c² − b²).
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать существование точек N, P и QС пояснением
1) Построим точку N, симметричную M относительно A. Тогда A — середина MN.2) Построим точку P, симметричную N относительно B. Тогда B — середина NP.3) Построим точку Q, симметричную P относительно C. Тогда C — середина PQ.4) Обозначим координаты точек соответствующими маленькими буквами. По формуле координат середины:
n = 2a − m,
p = 2b − n,
q = 2c − p.
Следовательно,
q = 2c − 2b + 2a − m.5) В параллелограмме ABCD диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому a + c = b + d, откуда d = a + c − b. Значит,
q = 2d − m,
то есть m + q = 2d. Следовательно, D является серединой отрезка QM.Таким образом, построенные точки N, P и Q удовлетворяют всем условиям.Ответ: точки N, P и Q существуют; их нужно последовательно построить симметричными точкам M, N и P относительно A, B и C.
Кратко Построим N как точку, симметричную M относительно A; P — симметричную N относительно B; Q — симметричную P относительно C. Тогда A, B и C — середины MN, NP и PQ.По формуле середины n = 2a − m, p = 2b − n, q = 2c − p. Поэтому q = 2a − 2b + 2c − m. Для параллелограмма d = a − b + c, значит q = 2d − m. Следовательно, D — середина QM.Ответ: требуемые точки N, P и Q существуют.
n = 2a − m,
p = 2b − n,
q = 2c − p.
Следовательно,
q = 2c − 2b + 2a − m.5) В параллелограмме ABCD диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому a + c = b + d, откуда d = a + c − b. Значит,
q = 2d − m,
то есть m + q = 2d. Следовательно, D является серединой отрезка QM.Таким образом, построенные точки N, P и Q удовлетворяют всем условиям.Ответ: точки N, P и Q существуют; их нужно последовательно построить симметричными точкам M, N и P относительно A, B и C.
Кратко Построим N как точку, симметричную M относительно A; P — симметричную N относительно B; Q — симметричную P относительно C. Тогда A, B и C — середины MN, NP и PQ.По формуле середины n = 2a − m, p = 2b − n, q = 2c − p. Поэтому q = 2a − 2b + 2c − m. Для параллелограмма d = a − b + c, значит q = 2d − m. Следовательно, D — середина QM.Ответ: требуемые точки N, P и Q существуют.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно, что MB = а, МС = b и MD = c. Найдите длину отрезка МА.
Задание учебника 2023 года
Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р и Q, расположенные так, что А, В, С и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.
