Упр.859 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство OA² + OB² = 5OC²С пояснением
Опустим OD ⟂ AC и OE ⟂ BC, где D ∈ AC, E ∈ BC.1) Так как три данных треугольника имеют равные площади, каждый из них составляет треть площади треугольника ABC:
S(OAC) = 1/3 S(ABC).
У треугольников OAC и ABC общее основание AC, поэтому их высоты относятся так же, как площади:
OD = 1/3 BC.
Аналогично OE = 1/3 AC.2) Четырёхугольник CDOE — прямоугольник, поэтому:
CD = OE = 1/3 AC,
CE = OD = 1/3 BC.
Следовательно:
AD = 2/3 AC, BE = 2/3 BC.3) По теореме Пифагора:
OA² = AD² + OD² = 4/9 AC² + 1/9 BC²,
OB² = BE² + OE² = 4/9 BC² + 1/9 AC².Поэтому:
OA² + OB² = 5/9(AC² + BC²).4) Также по теореме Пифагора:
OC² = CD² + OD² = 1/9(AC² + BC²).Значит, OA² + OB² = 5OC².Ответ: доказано, что OA² + OB² = 5OC².
Кратко Опустим OD ⟂ AC и OE ⟂ BC. Равные площади составляют по 1/3 площади △ABC, поэтому
OD = BC/3, OE = AC/3.Так как CDOE — прямоугольник, то
CD = AC/3, CE = BC/3,
AD = 2AC/3, BE = 2BC/3.По теореме Пифагора:
OA² + OB² = (4AC² + BC²)/9 + (AC² + 4BC²)/9 = 5(AC² + BC²)/9,
OC² = (AC² + BC²)/9.
Следовательно, OA² + OB² = 5OC².Ответ: OA² + OB² = 5OC².
S(OAC) = 1/3 S(ABC).
У треугольников OAC и ABC общее основание AC, поэтому их высоты относятся так же, как площади:
OD = 1/3 BC.
Аналогично OE = 1/3 AC.2) Четырёхугольник CDOE — прямоугольник, поэтому:
CD = OE = 1/3 AC,
CE = OD = 1/3 BC.
Следовательно:
AD = 2/3 AC, BE = 2/3 BC.3) По теореме Пифагора:
OA² = AD² + OD² = 4/9 AC² + 1/9 BC²,
OB² = BE² + OE² = 4/9 BC² + 1/9 AC².Поэтому:
OA² + OB² = 5/9(AC² + BC²).4) Также по теореме Пифагора:
OC² = CD² + OD² = 1/9(AC² + BC²).Значит, OA² + OB² = 5OC².Ответ: доказано, что OA² + OB² = 5OC².
Кратко Опустим OD ⟂ AC и OE ⟂ BC. Равные площади составляют по 1/3 площади △ABC, поэтому
OD = BC/3, OE = AC/3.Так как CDOE — прямоугольник, то
CD = AC/3, CE = BC/3,
AD = 2AC/3, BE = 2BC/3.По теореме Пифагора:
OA² + OB² = (4AC² + BC²)/9 + (AC² + 4BC²)/9 = 5(AC² + BC²)/9,
OC² = (AC² + BC²)/9.
Следовательно, OA² + OB² = 5OC².Ответ: OA² + OB² = 5OC².
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что четырёхугольник — параллелограммС пояснением
Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD, а K — середина диагонали AC.1) В треугольнике ABC отрезки MK и NK — средние линии, поэтому
MK = BC/2, NK = AB/2.2) В треугольнике ACD отрезки KP и KQ — средние линии, поэтому
KP = AD/2, KQ = CD/2.3) По неравенству треугольника:
MP ≤ MK + KP = (BC + AD)/2,
NQ ≤ NK + KQ = (AB + CD)/2.
Следовательно,
MP + NQ ≤ (AB + BC + CD + AD)/2.4) По условию здесь достигается равенство. Значит, равенства выполняются в обоих неравенствах треугольника. Поэтому точки M, K, P лежат на одной прямой, а точки N, K, Q — на другой прямой.5) Так как MK ∥ BC и KP ∥ AD, то BC ∥ AD. Аналогично NK ∥ AB и KQ ∥ CD, поэтому AB ∥ CD.Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, он является параллелограммом.Ответ: четырёхугольник — параллелограмм.
Кратко Обозначим середины AB, BC, CD, DA через M, N, P, Q, а середину AC — через K. По свойству средней линии:
MK = BC/2, KP = AD/2, NK = AB/2, KQ = CD/2.По неравенству треугольника:
MP ≤ (BC + AD)/2,
NQ ≤ (AB + CD)/2.Их сумма по условию равна половине периметра, поэтому оба неравенства обращаются в равенства. Значит, M, K, P лежат на одной прямой и N, K, Q лежат на одной прямой. Отсюда BC ∥ AD и AB ∥ CD.Ответ: ABCD — параллелограмм.
MK = BC/2, NK = AB/2.2) В треугольнике ACD отрезки KP и KQ — средние линии, поэтому
KP = AD/2, KQ = CD/2.3) По неравенству треугольника:
MP ≤ MK + KP = (BC + AD)/2,
NQ ≤ NK + KQ = (AB + CD)/2.
Следовательно,
MP + NQ ≤ (AB + BC + CD + AD)/2.4) По условию здесь достигается равенство. Значит, равенства выполняются в обоих неравенствах треугольника. Поэтому точки M, K, P лежат на одной прямой, а точки N, K, Q — на другой прямой.5) Так как MK ∥ BC и KP ∥ AD, то BC ∥ AD. Аналогично NK ∥ AB и KQ ∥ CD, поэтому AB ∥ CD.Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, он является параллелограммом.Ответ: четырёхугольник — параллелограмм.
Кратко Обозначим середины AB, BC, CD, DA через M, N, P, Q, а середину AC — через K. По свойству средней линии:
MK = BC/2, KP = AD/2, NK = AB/2, KQ = CD/2.По неравенству треугольника:
MP ≤ (BC + AD)/2,
NQ ≤ (AB + CD)/2.Их сумма по условию равна половине периметра, поэтому оба неравенства обращаются в равенства. Значит, M, K, P лежат на одной прямой и N, K, Q лежат на одной прямой. Отсюда BC ∥ AD и AB ∥ CD.Ответ: ABCD — параллелограмм.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенство SOAB = SOAC = SOBC. Докажите, что справедливо равенство ОА2 + ОВ2 = 5ОС2.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
