Упр.860 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать подобие и пропорцию отрезковС пояснением
1) Так как пятиугольник правильный, его внутренний угол равен 108°, а AE = ED. Поэтому в равнобедренном треугольнике AED:
∠EAD = ∠ADE = (180° − 108°) : 2 = 36°.2) В треугольнике ABE стороны AB и AE равны, а ∠BAE = 108°. Следовательно,
∠AEB = 36°.
Так как F лежит на BE, то ∠AEF = 36°. Кроме того, F лежит на AD, поэтому ∠EAF = ∠EAD = 36°. Значит,
∠AFE = 180° − 36° − 36° = 108°.Таким образом, ∠EAD = ∠EAF и ∠AED = ∠AFE. Следовательно, △AED ∼ △AFE по двум углам.3) Из подобия треугольников:
DA/AE = AE/AF.4) Докажем, что AE = DF. Поскольку ∠DEA = 108°, а ∠AEB = 36°, получаем:
∠DEF = 108° − 36° = 72°.
В треугольнике DFE угол при D равен ∠ADE = 36°, поэтому
∠DFE = 180° − 72° − 36° = 72°.
Следовательно, ∠DEF = ∠DFE, значит DF = DE. Но DE = AE, поэтому DF = AE.5) Заменим AE на DF в равенстве DA/AE = AE/AF:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
Кратко В правильном пятиугольнике каждый внутренний угол равен 108°.Так как AE = ED, то в △AED углы при A и D равны 36°. Аналогично из AB = AE получаем ∠AEB = 36°. Поэтому в △AFE углы равны 36°, 36° и 108°, откуда △AED ∼ △AFE.Из подобия:
DA/AE = AE/AF.Кроме того, ∠DEF = 108° − 36° = 72°, а ∠DFE = 72°, поэтому DF = DE = AE. Подставляя DF вместо AE, получаем:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
∠EAD = ∠ADE = (180° − 108°) : 2 = 36°.2) В треугольнике ABE стороны AB и AE равны, а ∠BAE = 108°. Следовательно,
∠AEB = 36°.
Так как F лежит на BE, то ∠AEF = 36°. Кроме того, F лежит на AD, поэтому ∠EAF = ∠EAD = 36°. Значит,
∠AFE = 180° − 36° − 36° = 108°.Таким образом, ∠EAD = ∠EAF и ∠AED = ∠AFE. Следовательно, △AED ∼ △AFE по двум углам.3) Из подобия треугольников:
DA/AE = AE/AF.4) Докажем, что AE = DF. Поскольку ∠DEA = 108°, а ∠AEB = 36°, получаем:
∠DEF = 108° − 36° = 72°.
В треугольнике DFE угол при D равен ∠ADE = 36°, поэтому
∠DFE = 180° − 72° − 36° = 72°.
Следовательно, ∠DEF = ∠DFE, значит DF = DE. Но DE = AE, поэтому DF = AE.5) Заменим AE на DF в равенстве DA/AE = AE/AF:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
Кратко В правильном пятиугольнике каждый внутренний угол равен 108°.Так как AE = ED, то в △AED углы при A и D равны 36°. Аналогично из AB = AE получаем ∠AEB = 36°. Поэтому в △AFE углы равны 36°, 36° и 108°, откуда △AED ∼ △AFE.Из подобия:
DA/AE = AE/AF.Кроме того, ∠DEF = 108° − 36° = 72°, а ∠DFE = 72°, поэтому DF = DE = AE. Подставляя DF вместо AE, получаем:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что четырёхугольник — трапеция или параллелограммС пояснением
Пусть M и N — середины противоположных сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD, а P — середина диагонали AC.1) В треугольнике ABC отрезок MP — средняя линия, поэтому MP ∥ BC и MP = BC : 2.2) В треугольнике ACD отрезок PN — средняя линия, поэтому PN ∥ AD и PN = AD : 2.3) По условию
MN = (BC + AD) : 2 = MP + PN.
Но в треугольнике MPN должно выполняться MN ≤ MP + PN. Равенство возможно только тогда, когда точки M, P и N лежат на одной прямой, причём P находится между M и N.4) Следовательно, MP и PN лежат на одной прямой. Так как MP ∥ BC, а PN ∥ AD, то BC ∥ AD.Значит, у четырёхугольника ABCD есть пара параллельных противоположных сторон. Если AB и CD не параллельны, это трапеция; если AB ∥ CD, это параллелограмм.Ответ: четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.
Кратко Пусть M и N — середины AB и CD, а P — середина диагонали AC. Тогда по свойству средней линии треугольника:
MP = BC/2, MP ∥ BC;
PN = AD/2, PN ∥ AD.По условию MN = (BC + AD)/2 = MP + PN. Поэтому точки M, P, N лежат на одной прямой. Следовательно, BC ∥ AD. Значит, ABCD — трапеция, а если также AB ∥ CD, то параллелограмм.Ответ: трапеция или параллелограмм.
MN = (BC + AD) : 2 = MP + PN.
Но в треугольнике MPN должно выполняться MN ≤ MP + PN. Равенство возможно только тогда, когда точки M, P и N лежат на одной прямой, причём P находится между M и N.4) Следовательно, MP и PN лежат на одной прямой. Так как MP ∥ BC, а PN ∥ AD, то BC ∥ AD.Значит, у четырёхугольника ABCD есть пара параллельных противоположных сторон. Если AB и CD не параллельны, это трапеция; если AB ∥ CD, это параллелограмм.Ответ: четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.
Кратко Пусть M и N — середины AB и CD, а P — середина диагонали AC. Тогда по свойству средней линии треугольника:
MP = BC/2, MP ∥ BC;
PN = AD/2, PN ∥ AD.По условию MN = (BC + AD)/2 = MP + PN. Поэтому точки M, P, N лежат на одной прямой. Следовательно, BC ∥ AD. Значит, ABCD — трапеция, а если также AB ∥ CD, то параллелограмм.Ответ: трапеция или параллелограмм.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: a) треугольник AED и треугольник AFE; 6)DA/DF=DF/AF
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
