Упр.853 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти расстояние от точки до вершины углаС пояснением
Пусть O — вершина угла, M — основание перпендикуляра из A на одну из его сторон, AM = a. Через A проведём прямую AD, параллельную второй стороне угла, где D лежит на первой стороне.1) Треугольник AMD — прямоугольный с углом 60°, поэтому MD = a/√3.2) Расстояние между параллельными прямыми AD и второй стороной угла равно b. Поэтому в прямоугольном треугольнике с углом 60°:
OD = 2b/√3.3) OM = OD + DM = 2b/√3 + a/√3 = (a + 2b)/√3.4) По теореме Пифагора:
OA² = OM² + AM² = (a + 2b)²/3 + a² = 4(a² + ab + b²)/3.
Следовательно,
OA = 2√(a² + ab + b²)/√3.Ответ: 2√(a² + ab + b²)/√3.
Кратко Пусть O — вершина угла, M — основание перпендикуляра из A к стороне угла. Тогда AM = a, а OM = (a + 2b)/√3.По теореме Пифагора:
OA = √(OM² + AM²) = √((a + 2b)²/3 + a²) = 2√(a² + ab + b²)/√3.Ответ: 2√(a² + ab + b²)/√3.
OD = 2b/√3.3) OM = OD + DM = 2b/√3 + a/√3 = (a + 2b)/√3.4) По теореме Пифагора:
OA² = OM² + AM² = (a + 2b)²/3 + a² = 4(a² + ab + b²)/3.
Следовательно,
OA = 2√(a² + ab + b²)/√3.Ответ: 2√(a² + ab + b²)/√3.
Кратко Пусть O — вершина угла, M — основание перпендикуляра из A к стороне угла. Тогда AM = a, а OM = (a + 2b)/√3.По теореме Пифагора:
OA = √(OM² + AM²) = √((a + 2b)²/3 + a²) = 2√(a² + ab + b²)/√3.Ответ: 2√(a² + ab + b²)/√3.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что RS ⟂ OMС пояснением
1) Введём координаты: O(0; 0), сторону OA примем за ось Ox, а прямую OB зададим уравнением y = kx. Пусть M(a; b). Тогда P(a; 0).2) Прямая PR перпендикулярна OB, поэтому её уравнение имеет вид
y = −(x − a)/k.
Решая его совместно с y = kx, получаем
R(a/(k² + 1); ak/(k² + 1)).3) Прямая MQ также перпендикулярна OB:
y − b = −(x − a)/k.
Отсюда абсцисса точки Q равна (a + kb)/(k² + 1). Поскольку QS ⟂ OA, точка S имеет координаты
S((a + kb)/(k² + 1); 0).4) Поэтому при переходе от R к S координаты изменяются на
kb/(k² + 1) и −ak/(k² + 1), то есть направление RS пропорционально (b; −a). Направление OM задаётся парой (a; b). Эти направления перпендикулярны, так как
a · b + b · (−a) = 0.Следовательно, RS ⟂ OM.Ответ: RS перпендикулярна OM.
Кратко Пусть O(0; 0), OA — ось Ox, OB: y = kx, M(a; b). Тогда
R(a/(k² + 1); ak/(k² + 1)),
S((a + kb)/(k² + 1); 0).
Направление RS пропорционально (b; −a), а направление OM — (a; b). Так как ab − ab = 0, эти прямые перпендикулярны.Ответ: RS ⟂ OM.
y = −(x − a)/k.
Решая его совместно с y = kx, получаем
R(a/(k² + 1); ak/(k² + 1)).3) Прямая MQ также перпендикулярна OB:
y − b = −(x − a)/k.
Отсюда абсцисса точки Q равна (a + kb)/(k² + 1). Поскольку QS ⟂ OA, точка S имеет координаты
S((a + kb)/(k² + 1); 0).4) Поэтому при переходе от R к S координаты изменяются на
kb/(k² + 1) и −ak/(k² + 1), то есть направление RS пропорционально (b; −a). Направление OM задаётся парой (a; b). Эти направления перпендикулярны, так как
a · b + b · (−a) = 0.Следовательно, RS ⟂ OM.Ответ: RS перпендикулярна OM.
Кратко Пусть O(0; 0), OA — ось Ox, OB: y = kx, M(a; b). Тогда
R(a/(k² + 1); ak/(k² + 1)),
S((a + kb)/(k² + 1); 0).
Направление RS пропорционально (b; −a), а направление OM — (a; b). Так как ab − ab = 0, эти прямые перпендикулярны.Ответ: RS ⟂ OM.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны а и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.
Задание учебника 2023 года
Из точки М внутренней области угла АОВ проведены перпендикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОB. Из точек Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОB и ОА. Докажите, что RSперпендикулярнаОМ.
