Упр.854 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти площадь параллелограмма ABCDС пояснением
Обозначим площадь параллелограмма ABCD через S.1) Треугольники KBC и CDM подобны: KB ∥ CD, BC ∥ DM, а точки K, C и M лежат на одной прямой. Поэтому
KB/CD = BC/DM.
Так как CD = AB и BC = AD, получаем:
KB/AB · DM/AD = 1.2) Треугольник KBC и параллелограмм имеют высоты к прямой AB одинаковой длины, поэтому
S₁/S = KB/(2AB).
Значит, KB/AB = 2S₁/S.Аналогично для треугольника CDM:
DM/AD = 2S₂/S.3) Подставим эти отношения:
2S₁/S · 2S₂/S = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
Кратко Пусть S — площадь параллелограмма. Из подобия треугольников KBC и CDM и формулы площади получаем:
(2S₁/S) · (2S₂/S) = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
KB/CD = BC/DM.
Так как CD = AB и BC = AD, получаем:
KB/AB · DM/AD = 1.2) Треугольник KBC и параллелограмм имеют высоты к прямой AB одинаковой длины, поэтому
S₁/S = KB/(2AB).
Значит, KB/AB = 2S₁/S.Аналогично для треугольника CDM:
DM/AD = 2S₂/S.3) Подставим эти отношения:
2S₁/S · 2S₂/S = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
Кратко Пусть S — площадь параллелограмма. Из подобия треугольников KBC и CDM и формулы площади получаем:
(2S₁/S) · (2S₂/S) = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что BM ⟂ AHС пояснением
1) Введём координаты с началом в точке H: ось Ox направим вдоль BC, ось Oy — вдоль HD. Обозначим BH = x, HC = y, DH = h. Тогда B(−x; 0), C(y; 0), D(0; h).2) Так как D — середина AC, точка A симметрична точке C относительно D, поэтому A(−y; 2h).3) По условию AB = BC. По теореме Пифагора:
AB² = (x − y)² + 4h²,
BC² = (x + y)².
Следовательно,
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
откуда h² = xy.4) Так как M — середина DH, то M(0; h/2). Угловые коэффициенты прямых BM и AH равны:
kBM = h/(2x),
kAH = −2h/y.
Их произведение:
kBM · kAH = −h²/(xy) = −1.
Значит, прямые BM и AH перпендикулярны.Ответ: BM ⟂ AH.
Кратко Пусть BH = x, HC = y, DH = h. Введём координаты: H(0; 0), B(−x; 0), C(y; 0), D(0; h). Так как D — середина AC, то A(−y; 2h).Из AB = BC по теореме Пифагора:
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
поэтому h² = xy.Точка M(0; h/2), значит
kBM = h/(2x), kAH = −2h/y.
Тогда kBM · kAH = −h²/(xy) = −1, следовательно, BM ⟂ AH.Ответ: BM ⟂ AH.
AB² = (x − y)² + 4h²,
BC² = (x + y)².
Следовательно,
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
откуда h² = xy.4) Так как M — середина DH, то M(0; h/2). Угловые коэффициенты прямых BM и AH равны:
kBM = h/(2x),
kAH = −2h/y.
Их произведение:
kBM · kAH = −h²/(xy) = −1.
Значит, прямые BM и AH перпендикулярны.Ответ: BM ⟂ AH.
Кратко Пусть BH = x, HC = y, DH = h. Введём координаты: H(0; 0), B(−x; 0), C(y; 0), D(0; h). Так как D — середина AC, то A(−y; 2h).Из AB = BC по теореме Пифагора:
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
поэтому h² = xy.Точка M(0; h/2), значит
kBM = h/(2x), kAH = −2h/y.
Тогда kBM · kAH = −h²/(xy) = −1, следовательно, BM ⟂ AH.Ответ: BM ⟂ AH.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно S1 и S2.
Задание учебника 2023 года
В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ перпендикулярен АН.
