Упр.852 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство площадей четырёхугольника и треугольниковС пояснением
Обозначим P = KD ∩ AM, Q = KC ∩ BM. Тогда заключённый между отрезками четырёхугольник — KPMQ.1) Так как M — середина DC, то DM = MC. Поэтому
S(ADM) = 1/2 S(ADC),
S(BCM) = 1/2 S(BCD).
Следовательно,
S(ADM) + S(BCM) = 1/2 S(ABCD).2) Точка K — середина AB. Высота от K к прямой DC равна полусумме высот от A и B к этой прямой. Поэтому
S(KDC) = 1/2(S(ADC) + S(BCD)) = 1/2 S(ABCD).
Значит,
S(KDC) = S(ADM) + S(BCM).3) Отрезок MP делит треугольник ADM на треугольники ADP и DMP, а MQ делит треугольник BCM на треугольники BCQ и CMQ:
S(ADM) = S(ADP) + S(DMP),
S(BCM) = S(BCQ) + S(CMQ).4) Треугольник KDC состоит из четырёхугольника KPMQ и треугольников DMP, CMQ:
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ).Подставляя полученные равенства и вычитая площади треугольников DMP и CMQ, получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей треугольников ADP и BCQ, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть P = KD ∩ AM, Q = KC ∩ BM.Так как K и M — середины AB и DC, то
S(KDC) = 1/2 S(ABCD) = S(ADM) + S(BCM).При этом
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ),
S(ADM) + S(BCM) = S(ADP) + S(BCQ) + S(DMP) + S(CMQ).Вычитая одинаковые площади S(DMP) и S(CMQ), получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей прилежащих треугольников ADP и BCQ.
S(ADM) = 1/2 S(ADC),
S(BCM) = 1/2 S(BCD).
Следовательно,
S(ADM) + S(BCM) = 1/2 S(ABCD).2) Точка K — середина AB. Высота от K к прямой DC равна полусумме высот от A и B к этой прямой. Поэтому
S(KDC) = 1/2(S(ADC) + S(BCD)) = 1/2 S(ABCD).
Значит,
S(KDC) = S(ADM) + S(BCM).3) Отрезок MP делит треугольник ADM на треугольники ADP и DMP, а MQ делит треугольник BCM на треугольники BCQ и CMQ:
S(ADM) = S(ADP) + S(DMP),
S(BCM) = S(BCQ) + S(CMQ).4) Треугольник KDC состоит из четырёхугольника KPMQ и треугольников DMP, CMQ:
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ).Подставляя полученные равенства и вычитая площади треугольников DMP и CMQ, получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей треугольников ADP и BCQ, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть P = KD ∩ AM, Q = KC ∩ BM.Так как K и M — середины AB и DC, то
S(KDC) = 1/2 S(ABCD) = S(ADM) + S(BCM).При этом
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ),
S(ADM) + S(BCM) = S(ADP) + S(BCQ) + S(DMP) + S(CMQ).Вычитая одинаковые площади S(DMP) и S(CMQ), получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей прилежащих треугольников ADP и BCQ.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство для сторон треугольникаС пояснением
Обозначим BC = a, AC = b, AB = c и ∠A = α. Тогда ∠B = 2α, ∠C = 4α и 7α = 180°.1) Проведём биссектрису BD угла B, где D лежит на AC. Тогда ∠ABD = ∠BAD = α, поэтому AD = BD.
В треугольнике BDC:
∠BDC = 180° − α − 4α = 2α.
Следовательно, треугольники BDC и ABC подобны. Из подобия:
BD/AB = BC/AC, то есть BD/c = a/b,
DC/BC = BC/AC, то есть DC/a = a/b.
Поэтому BD = ac/b, DC = a²/b. Так как AC = AD + DC и AD = BD, получаем:
b = ac/b + a²/b,
то есть b² = a(a + c).2) Проведём биссектрису CE угла C, где E лежит на AB. Тогда ∠ACE = ∠ECB = 2α. Треугольники ACE и ABC подобны, а в треугольнике BCE углы при B и C равны 2α, поэтому BE = CE.
Из подобия получаем AE = b²/c и CE = ab/c. Следовательно,
c = AE + BE = b²/c + ab/c,
то есть c² = b(a + b).3) Положим x = b/a. Из равенства b² = a(a + c) имеем
c/a = x² − 1.
Разделив равенство c² = b(a + b) на a², получим
(c/a)² = x(1 + x).
Значит,
(x² − 1)² = x(x + 1),
(x − 1)²(x + 1) = x.
После раскрытия скобок:
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Подставляя x = b/a и x² − 1 = c/a, получаем
bc/a² = b/a + c/a,
то есть bc = a(b + c).Разделим это равенство на abc:
1/a = 1/b + 1/c.Ответ: 1/BC = 1/AC + 1/AB, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, а ∠A = α. Тогда ∠B = 2α, ∠C = 4α.1) Проведя биссектрису угла B и применив подобие треугольников, получаем:
b² = a(a + c).2) Проведя биссектрису угла C и снова применив подобие, получаем:
c² = b(a + b).3) Обозначим x = b/a. Тогда из первого равенства c/a = x² − 1, а из второго:
(x² − 1)² = x(x + 1).
Отсюда (x − 1)²(x + 1) = x, то есть
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Следовательно,
bc = a(b + c).
Разделив на abc, получаем:
1/BC = 1/AC + 1/AB.Ответ: равенство доказано.
В треугольнике BDC:
∠BDC = 180° − α − 4α = 2α.
Следовательно, треугольники BDC и ABC подобны. Из подобия:
BD/AB = BC/AC, то есть BD/c = a/b,
DC/BC = BC/AC, то есть DC/a = a/b.
Поэтому BD = ac/b, DC = a²/b. Так как AC = AD + DC и AD = BD, получаем:
b = ac/b + a²/b,
то есть b² = a(a + c).2) Проведём биссектрису CE угла C, где E лежит на AB. Тогда ∠ACE = ∠ECB = 2α. Треугольники ACE и ABC подобны, а в треугольнике BCE углы при B и C равны 2α, поэтому BE = CE.
Из подобия получаем AE = b²/c и CE = ab/c. Следовательно,
c = AE + BE = b²/c + ab/c,
то есть c² = b(a + b).3) Положим x = b/a. Из равенства b² = a(a + c) имеем
c/a = x² − 1.
Разделив равенство c² = b(a + b) на a², получим
(c/a)² = x(1 + x).
Значит,
(x² − 1)² = x(x + 1),
(x − 1)²(x + 1) = x.
После раскрытия скобок:
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Подставляя x = b/a и x² − 1 = c/a, получаем
bc/a² = b/a + c/a,
то есть bc = a(b + c).Разделим это равенство на abc:
1/a = 1/b + 1/c.Ответ: 1/BC = 1/AC + 1/AB, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, а ∠A = α. Тогда ∠B = 2α, ∠C = 4α.1) Проведя биссектрису угла B и применив подобие треугольников, получаем:
b² = a(a + c).2) Проведя биссектрису угла C и снова применив подобие, получаем:
c² = b(a + b).3) Обозначим x = b/a. Тогда из первого равенства c/a = x² − 1, а из второго:
(x² − 1)² = x(x + 1).
Отсюда (x − 1)²(x + 1) = x, то есть
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Следовательно,
bc = a(b + c).
Разделив на abc, получаем:
1/BC = 1/AC + 1/AB.Ответ: равенство доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и MB соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC уголA=180°/7 и уголB = 360°/7. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB.
