Упр.851 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Докажите, что площадь средней части равна третиС пояснением
Обозначим четырёхугольник ABCD. Пусть точки E, F делят AB на три равные части, а точки H, G делят DC на три равные части, причём отрезки EH и FG не пересекаются. Нужно доказать, что S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).1) Проведём диагональ EG. Тогда
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH).2) У треугольников EFG и ABG основания EF и AB лежат на одной прямой, а высота из G общая. Так как EF = 1/3 AB, то
S(EFG) = 1/3 S(ABG).Аналогично, HG = 1/3 DC, поэтому
S(EGH) = 1/3 S(DCE).Следовательно,
S(EFGH) = 1/3(S(ABG) + S(DCE)).3) Поскольку DG : GC = 2 : 1, высота точки G к AB составляет такую же взвешенную часть высот точек D и C. Поэтому
S(ABG) = 1/3 S(ABD) + 2/3 S(ABC).Так как AE : EB = 1 : 2, аналогично
S(DCE) = 2/3 S(DCA) + 1/3 S(DCB).Тогда
S(ABG) + S(DCE)
= 1/3(S(ABD) + S(DCB)) + 2/3(S(ABC) + S(DCA))
= 1/3 S(ABCD) + 2/3 S(ABCD)
= S(ABCD).Значит,
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади четырёхугольника.
Кратко Пусть E, F — точки деления стороны AB, а H, G — соответствующие точки деления стороны DC.Проведём EG. Так как EF = 1/3 AB и HG = 1/3 DC, то
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH)
= 1/3 S(ABG) + 1/3 S(DCE).Из отношений AE : EB = 1 : 2 и DH : HG : GC = 1 : 1 : 1 следует, что
S(ABG) + S(DCE) = S(ABCD).Поэтому
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади всего четырёхугольника.
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH).2) У треугольников EFG и ABG основания EF и AB лежат на одной прямой, а высота из G общая. Так как EF = 1/3 AB, то
S(EFG) = 1/3 S(ABG).Аналогично, HG = 1/3 DC, поэтому
S(EGH) = 1/3 S(DCE).Следовательно,
S(EFGH) = 1/3(S(ABG) + S(DCE)).3) Поскольку DG : GC = 2 : 1, высота точки G к AB составляет такую же взвешенную часть высот точек D и C. Поэтому
S(ABG) = 1/3 S(ABD) + 2/3 S(ABC).Так как AE : EB = 1 : 2, аналогично
S(DCE) = 2/3 S(DCA) + 1/3 S(DCB).Тогда
S(ABG) + S(DCE)
= 1/3(S(ABD) + S(DCB)) + 2/3(S(ABC) + S(DCA))
= 1/3 S(ABCD) + 2/3 S(ABCD)
= S(ABCD).Значит,
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади четырёхугольника.
Кратко Пусть E, F — точки деления стороны AB, а H, G — соответствующие точки деления стороны DC.Проведём EG. Так как EF = 1/3 AB и HG = 1/3 DC, то
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH)
= 1/3 S(ABG) + 1/3 S(DCE).Из отношений AE : EB = 1 : 2 и DH : HG : GC = 1 : 1 : 1 следует, что
S(ABG) + S(DCE) = S(ABCD).Поэтому
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади всего четырёхугольника.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти расстояние от центра квадрата до прямого углаС пояснением
Обозначим катеты треугольника через b и c, тогда b + c = a. Поместим вершину прямого угла в начало координат, а катеты направим вдоль осей. Тогда концы гипотенузы имеют координаты (b; 0) и (0; c).1) При построении квадрата с внешней стороны гипотенузы его центр имеет координаты ((b + c)/2; (b + c)/2), то есть (a/2; a/2).
2) По теореме Пифагора расстояние от начала координат до центра квадрата равно:
√((a/2)² + (a/2)²) = √(a²/2) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
Кратко Пусть вершина прямого угла имеет координаты (0; 0). Центр внешнего квадрата имеет координаты (a/2; a/2).По теореме Пифагора:
√((a/2)² + (a/2)²) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
2) По теореме Пифагора расстояние от начала координат до центра квадрата равно:
√((a/2)² + (a/2)²) = √(a²/2) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
Кратко Пусть вершина прямого угла имеет координаты (0; 0). Центр внешнего квадрата имеет координаты (a/2; a/2).По теореме Пифагора:
√((a/2)² + (a/2)²) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.
Задание учебника 2023 года
Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а.
