Упр.850 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство площадей четырёхугольников ABOD и CEOKС пояснением
Обозначим площадь параллелограмма ABCD через S.1) Треугольник CDE и параллелограмм ABCD имеют равные высоты, проведённые к равным основаниям CD и AB. Поэтому
S_CDE = 1/2 S.2) Аналогично у треугольника BCK и параллелограмма равны высоты к равным основаниям BC и AD. Значит,
S_BCK = 1/2 S.
Следовательно,
S_CDE + S_BCK = S.3) Так как O лежит на ED и BK, то
S_CDE = S_CDO + S_CEO,
S_BCK = S_BCO + S_COK.
Поэтому
S_CDO + S_CEO + S_BCO + S_COK = S.4) Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника ABOD и треугольников BCO и CDO:
S_ABOD = S − S_BCO − S_CDO.
Из равенства, полученного выше,
S − S_BCO − S_CDO = S_CEO + S_COK = S_CEOK.Ответ: площади четырёхугольников ABOD и CEOK равны.
Кратко Пусть S — площадь параллелограмма ABCD. Треугольники CDE и BCK имеют по половине площади параллелограмма, поэтому
S_CDE + S_BCK = S.Так как O ∈ ED и O ∈ BK, то
S_CDE = S_CDO + S_CEO,
S_BCK = S_BCO + S_COK.
Значит,
S = S_CDO + S_CEO + S_BCO + S_COK.Тогда
S_ABOD = S − S_BCO − S_CDO = S_CEO + S_COK = S_CEOK.Ответ: S_ABOD = S_CEOK.
S_CDE = 1/2 S.2) Аналогично у треугольника BCK и параллелограмма равны высоты к равным основаниям BC и AD. Значит,
S_BCK = 1/2 S.
Следовательно,
S_CDE + S_BCK = S.3) Так как O лежит на ED и BK, то
S_CDE = S_CDO + S_CEO,
S_BCK = S_BCO + S_COK.
Поэтому
S_CDO + S_CEO + S_BCO + S_COK = S.4) Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника ABOD и треугольников BCO и CDO:
S_ABOD = S − S_BCO − S_CDO.
Из равенства, полученного выше,
S − S_BCO − S_CDO = S_CEO + S_COK = S_CEOK.Ответ: площади четырёхугольников ABOD и CEOK равны.
Кратко Пусть S — площадь параллелограмма ABCD. Треугольники CDE и BCK имеют по половине площади параллелограмма, поэтому
S_CDE + S_BCK = S.Так как O ∈ ED и O ∈ BK, то
S_CDE = S_CDO + S_CEO,
S_BCK = S_BCO + S_COK.
Значит,
S = S_CDO + S_CEO + S_BCO + S_COK.Тогда
S_ABOD = S − S_BCO − S_CDO = S_CEO + S_COK = S_CEOK.Ответ: S_ABOD = S_CEOK.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что K лежит на медиане CMС пояснением
Пусть M — середина стороны AB. Тогда CM — медиана треугольника ABC.1) Так как E лежит на AF и AE = BF, причём AM = BM, то
ME = AM − AE = BM − BF = MF.
Значит, M — середина EF.2) Обозначим через K₁ точку пересечения прямой CM с прямой, проходящей через E параллельно AC. Так как EK₁ ∥ AC, треугольники MEK₁ и MAC подобны. Поэтому
ME/MA = MK₁/MC.3) Поскольку ME = MF и MA = MB, получаем
MF/MB = MK₁/MC.
Кроме того, угол FMK₁ равен углу BMC. Следовательно, треугольники MFK₁ и MBC подобны по двум сторонам и углу между ними.4) Из подобия следует, что FK₁ ∥ BC. Значит, K₁ лежит и на прямой через E, параллельной AC, и на прямой через F, параллельной BC. Поэтому K₁ совпадает с точкой K.Следовательно, K лежит на медиане CM.Ответ: точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB.
Кратко Пусть M — середина AB. Из AE = BF и AM = BM следует, что ME = MF.Проведём через E прямую, параллельную AC, до пересечения с CM в точке K₁. Из подобия треугольников MEK₁ и MAC:
ME/MA = MK₁/MC.Так как ME = MF и MA = MB, то
MF/MB = MK₁/MC.
По признаку подобия треугольников MFK₁ и MBC получаем FK₁ ∥ BC. Следовательно, K₁ = K, поэтому K лежит на CM.Ответ: K лежит на медиане CM.
ME = AM − AE = BM − BF = MF.
Значит, M — середина EF.2) Обозначим через K₁ точку пересечения прямой CM с прямой, проходящей через E параллельно AC. Так как EK₁ ∥ AC, треугольники MEK₁ и MAC подобны. Поэтому
ME/MA = MK₁/MC.3) Поскольку ME = MF и MA = MB, получаем
MF/MB = MK₁/MC.
Кроме того, угол FMK₁ равен углу BMC. Следовательно, треугольники MFK₁ и MBC подобны по двум сторонам и углу между ними.4) Из подобия следует, что FK₁ ∥ BC. Значит, K₁ лежит и на прямой через E, параллельной AC, и на прямой через F, параллельной BC. Поэтому K₁ совпадает с точкой K.Следовательно, K лежит на медиане CM.Ответ: точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB.
Кратко Пусть M — середина AB. Из AE = BF и AM = BM следует, что ME = MF.Проведём через E прямую, параллельную AC, до пересечения с CM в точке K₁. Из подобия треугольников MEK₁ и MAC:
ME/MA = MK₁/MC.Так как ME = MF и MA = MB, то
MF/MB = MK₁/MC.
По признаку подобия треугольников MFK₁ и MBC получаем FK₁ ∥ BC. Следовательно, K₁ = K, поэтому K лежит на CM.Ответ: K лежит на медиане CM.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕОК равны.
Задание учебника 2023 года
Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника ABC, причём точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне АВ.
