Упр.849 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство площадей треугольников DCM и AKBС пояснением
Обозначим середины диагоналей AC и BD через O и N соответственно. По условию точки O и N лежат на прямой MK.1) Так как O — середина AC, точки A и C равноудалены от прямой MK. Обозначим это расстояние через h₁.2) Так как N — середина BD, точки B и D также равноудалены от прямой MK. Обозначим это расстояние через h₂.3) Отрезок MK делит треугольник AKB на два треугольника:
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM) = 1/2 · MK · h₁ + 1/2 · MK · h₂.4) Тот же отрезок делит треугольник DCM на два треугольника:
S(DCM) = S(DKM) + S(CKM) = 1/2 · MK · h₂ + 1/2 · MK · h₁.Следовательно, S(DCM) = S(AKB).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
Кратко Пусть O и N — середины AC и BD. Так как O, N лежат на MK, расстояния от A и C до MK равны, как и расстояния от B и D до MK.Тогда
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM),
S(DCM) = S(CKM) + S(DKM).У всех четырёх малых треугольников основание MK, а соответствующие высоты попарно равны. Поэтому
S(AKB) = S(DCM).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM) = 1/2 · MK · h₁ + 1/2 · MK · h₂.4) Тот же отрезок делит треугольник DCM на два треугольника:
S(DCM) = S(DKM) + S(CKM) = 1/2 · MK · h₂ + 1/2 · MK · h₁.Следовательно, S(DCM) = S(AKB).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
Кратко Пусть O и N — середины AC и BD. Так как O, N лежат на MK, расстояния от A и C до MK равны, как и расстояния от B и D до MK.Тогда
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM),
S(DCM) = S(CKM) + S(DKM).У всех четырёх малых треугольников основание MK, а соответствующие высоты попарно равны. Поэтому
S(AKB) = S(DCM).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Докажите свойство высот в ортическом треугольникеС пояснением
Пусть AD, BE и CF — высоты остроугольного треугольника ABC, а D, E и F — их основания соответственно. Докажем, что AD, BE и CF — биссектрисы треугольника DEF.1) Так как ∠ADB = ∠AEB = 90°, четырёхугольник ABDE вписанный. Поэтому ∠EDA = ∠EBA.
Аналогично четырёхугольник ACDF вписанный, поэтому ∠ADF = ∠ACF.
Углы ∠EBA и ∠ACF равны, так как каждый из них дополняет ∠A до 90°. Следовательно, ∠EDA = ∠ADF, то есть AD — биссектриса угла EDF.2) Из вписанного четырёхугольника ABDE получаем ∠DEB = ∠DAB. Из вписанного четырёхугольника BCEF получаем ∠BEF = ∠BCF.
Углы ∠DAB и ∠BCF равны, так как каждый дополняет ∠B до 90°. Значит, ∠DEB = ∠BEF, поэтому BE — биссектриса угла DEF.3) Из вписанного четырёхугольника BCEF следует, что ∠EFC = ∠EBC. Из вписанного четырёхугольника ACDF следует, что ∠CFD = ∠CAD.
Углы ∠EBC и ∠CAD равны, так как каждый дополняет ∠C до 90°. Поэтому ∠EFC = ∠CFD, то есть CF — биссектриса угла EFD.Ответ: высоты AD, BE и CF являются биссектрисами треугольника DEF, образованного основаниями высот.
Кратко Пусть D, E, F — основания высот AD, BE, CF треугольника ABC.Четырёхугольники ABDE, BCEF и ACDF вписанные, так как в каждом есть два прямых угла. Поэтому:
∠EDA = ∠EBA = 90° − ∠A = ∠ACF = ∠ADF;
∠DEB = ∠DAB = 90° − ∠B = ∠BCF = ∠BEF;
∠EFC = ∠EBC = 90° − ∠C = ∠CAD = ∠CFD.Следовательно, AD, BE и CF делят углы треугольника DEF пополам.Ответ: высоты исходного треугольника являются биссектрисами треугольника DEF.
Аналогично четырёхугольник ACDF вписанный, поэтому ∠ADF = ∠ACF.
Углы ∠EBA и ∠ACF равны, так как каждый из них дополняет ∠A до 90°. Следовательно, ∠EDA = ∠ADF, то есть AD — биссектриса угла EDF.2) Из вписанного четырёхугольника ABDE получаем ∠DEB = ∠DAB. Из вписанного четырёхугольника BCEF получаем ∠BEF = ∠BCF.
Углы ∠DAB и ∠BCF равны, так как каждый дополняет ∠B до 90°. Значит, ∠DEB = ∠BEF, поэтому BE — биссектриса угла DEF.3) Из вписанного четырёхугольника BCEF следует, что ∠EFC = ∠EBC. Из вписанного четырёхугольника ACDF следует, что ∠CFD = ∠CAD.
Углы ∠EBC и ∠CAD равны, так как каждый дополняет ∠C до 90°. Поэтому ∠EFC = ∠CFD, то есть CF — биссектриса угла EFD.Ответ: высоты AD, BE и CF являются биссектрисами треугольника DEF, образованного основаниями высот.
Кратко Пусть D, E, F — основания высот AD, BE, CF треугольника ABC.Четырёхугольники ABDE, BCEF и ACDF вписанные, так как в каждом есть два прямых угла. Поэтому:
∠EDA = ∠EBA = 90° − ∠A = ∠ACF = ∠ADF;
∠DEB = ∠DAB = 90° − ∠B = ∠BCF = ∠BEF;
∠EFC = ∠EBC = 90° − ∠C = ∠CAD = ∠CFD.Следовательно, AD, BE и CF делят углы треугольника DEF пополам.Ответ: высоты исходного треугольника являются биссектрисами треугольника DEF.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АКВ равны.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.
