Упр.848 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Докажите равенство площадей пятиугольника и трёх треугольниковС пояснением
Обозначим трапецию ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее. Параллельные прямые через B и C пересекают AD в точках E и F. Пусть диагонали пересекаются в точке O, а BE пересекает AC в P, CF пересекает BD в Q. Тогда рассматриваемый пятиугольник — EPOQF.1) Обозначим AD = a, BC = b, AE = x, FD = z, высоту трапеции — h.2) Из подобия треугольников, образованных параллельными прямыми, получаем высоты точек P и Q над основанием AD:
hₚ = hx/(x + b), hq = hz/(z + b).
Поэтому
S(ABP) = bhx/[2(x + b)],
S(CDQ) = bhz/[2(z + b)].3) Диагонали трапеции делят друг друга в отношении оснований, поэтому расстояние от O до BC равно hb/(a + b). Следовательно,
S(BOC) = hb²/[2(a + b)].4) Параллелограмм BCEF состоит из пятиугольника EPOQF и треугольников BOP, BOC, COQ. Вычисляя их площади по формуле S = ah/2 и вычитая из площади параллелограмма bh, получаем
S(EPOQF) = bhx/[2(x + b)] + hb²/[2(a + b)] + bhz/[2(z + b)].Значит,
S(EPOQF) = S(ABP) + S(BOC) + S(CDQ).Ответ: площадь пятиугольника равна сумме площадей треугольников, прилежащих к двум боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.
Кратко Пусть P и Q — точки пересечения проведённых параллельных прямых с диагоналями, O — точка пересечения диагоналей. Обозначим AD = a, BC = b, AE = x, FD = z, высоту трапеции через h.По подобию треугольников и формуле площади:
S(ABP) = bhx/[2(x + b)],
S(BOC) = hb²/[2(a + b)],
S(CDQ) = bhz/[2(z + b)].Вычитая из площади параллелограмма BCEF площади треугольников BOP, BOC и COQ, получаем:
S(EPOQF) = bhx/[2(x + b)] + hb²/[2(a + b)] + bhz/[2(z + b)].Следовательно,
S(EPOQF) = S(ABP) + S(BOC) + S(CDQ).Ответ: площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх указанных треугольников.
hₚ = hx/(x + b), hq = hz/(z + b).
Поэтому
S(ABP) = bhx/[2(x + b)],
S(CDQ) = bhz/[2(z + b)].3) Диагонали трапеции делят друг друга в отношении оснований, поэтому расстояние от O до BC равно hb/(a + b). Следовательно,
S(BOC) = hb²/[2(a + b)].4) Параллелограмм BCEF состоит из пятиугольника EPOQF и треугольников BOP, BOC, COQ. Вычисляя их площади по формуле S = ah/2 и вычитая из площади параллелограмма bh, получаем
S(EPOQF) = bhx/[2(x + b)] + hb²/[2(a + b)] + bhz/[2(z + b)].Значит,
S(EPOQF) = S(ABP) + S(BOC) + S(CDQ).Ответ: площадь пятиугольника равна сумме площадей треугольников, прилежащих к двум боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.
Кратко Пусть P и Q — точки пересечения проведённых параллельных прямых с диагоналями, O — точка пересечения диагоналей. Обозначим AD = a, BC = b, AE = x, FD = z, высоту трапеции через h.По подобию треугольников и формуле площади:
S(ABP) = bhx/[2(x + b)],
S(BOC) = hb²/[2(a + b)],
S(CDQ) = bhz/[2(z + b)].Вычитая из площади параллелограмма BCEF площади треугольников BOP, BOC и COQ, получаем:
S(EPOQF) = bhx/[2(x + b)] + hb²/[2(a + b)] + bhz/[2(z + b)].Следовательно,
S(EPOQF) = S(ABP) + S(BOC) + S(CDQ).Ответ: площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх указанных треугольников.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство BD = CEС пояснением
1) Так как DE параллельна биссектрисе угла A, то углы ADE и AED равны. Следовательно, треугольник ADE равнобедренный и AD = AE.2) Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой DME:
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.3) Точка M — середина BC, поэтому BM = MC. Кроме того, AD = AE. Значит,
CE/DB = 1,
то есть CE = DB.Ответ: BD = CE, что и требовалось доказать.
Кратко Так как DE параллельна биссектрисе угла A, то ∠ADE = ∠AED, поэтому AD = AE.По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой DME:
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.Поскольку BM = MC и AD = AE, получаем BD = CE.Ответ: BD = CE.
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.3) Точка M — середина BC, поэтому BM = MC. Кроме того, AD = AE. Значит,
CE/DB = 1,
то есть CE = DB.Ответ: BD = CE, что и требовалось доказать.
Кратко Так как DE параллельна биссектрисе угла A, то ∠ADE = ∠AED, поэтому AD = AE.По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой DME:
AD/DB · BM/MC · CE/EA = 1.Поскольку BM = MC и AD = AE, получаем BD = CE.Ответ: BD = CE.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC (АВ не равен АС) через середину М стороны ВС проведена прямая, Рис. 269 параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.
