Упр.847 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что биссектрисы образуют квадратС пояснением
Пусть ABCD — прямоугольник, а K, L, M, N — точки пересечения биссектрис углов A и B, B и C, C и D, D и A соответственно.1) Биссектрисы углов A и C параллельны, как и биссектрисы углов B и D. Поэтому KLMN — параллелограмм.2) Биссектрисы двух соседних углов прямоугольника перпендикулярны, так как каждая из них образует со стороной угол 45°. Значит, KLMN — прямоугольник.3) Точка K равноудалена от сторон AD и BC: это следует из свойства биссектрис углов A и B. Точка M также равноудалена от AD и BC. Поэтому KM проходит посередине между параллельными прямыми AD и BC, то есть KM ∥ AD.4) Аналогично точки L и N равноудалены от сторон AB и CD, поэтому LN ∥ AB. Так как AB ⟂ AD, то LN ⟂ KM.5) Итак, KLMN — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны. Такой прямоугольник является квадратом.Ответ: четырёхугольник KLMN — квадрат.
Кратко Обозначим точки пересечения соседних биссектрис через K, L, M, N. Биссектрисы противоположных углов прямоугольника параллельны, а соседних — перпендикулярны, поэтому KLMN — прямоугольник. Его диагонали KM и LN параллельны соответственно сторонам AD и AB, следовательно, KM ⟂ LN. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями является квадратом.Ответ: полученный четырёхугольник — квадрат.
Кратко Обозначим точки пересечения соседних биссектрис через K, L, M, N. Биссектрисы противоположных углов прямоугольника параллельны, а соседних — перпендикулярны, поэтому KLMN — прямоугольник. Его диагонали KM и LN параллельны соответственно сторонам AD и AB, следовательно, KM ⟂ LN. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями является квадратом.Ответ: полученный четырёхугольник — квадрат.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать подобие и пропорцию отрезковС пояснением
1) Так как пятиугольник правильный, его внутренний угол равен 108°, а AE = ED. Поэтому в равнобедренном треугольнике AED:
∠EAD = ∠ADE = (180° − 108°) : 2 = 36°.2) В треугольнике ABE стороны AB и AE равны, а ∠BAE = 108°. Следовательно,
∠AEB = 36°.
Так как F лежит на BE, то ∠AEF = 36°. Кроме того, F лежит на AD, поэтому ∠EAF = ∠EAD = 36°. Значит,
∠AFE = 180° − 36° − 36° = 108°.Таким образом, ∠EAD = ∠EAF и ∠AED = ∠AFE. Следовательно, △AED ∼ △AFE по двум углам.3) Из подобия треугольников:
DA/AE = AE/AF.4) Докажем, что AE = DF. Поскольку ∠DEA = 108°, а ∠AEB = 36°, получаем:
∠DEF = 108° − 36° = 72°.
В треугольнике DFE угол при D равен ∠ADE = 36°, поэтому
∠DFE = 180° − 72° − 36° = 72°.
Следовательно, ∠DEF = ∠DFE, значит DF = DE. Но DE = AE, поэтому DF = AE.5) Заменим AE на DF в равенстве DA/AE = AE/AF:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
Кратко В правильном пятиугольнике каждый внутренний угол равен 108°.Так как AE = ED, то в △AED углы при A и D равны 36°. Аналогично из AB = AE получаем ∠AEB = 36°. Поэтому в △AFE углы равны 36°, 36° и 108°, откуда △AED ∼ △AFE.Из подобия:
DA/AE = AE/AF.Кроме того, ∠DEF = 108° − 36° = 72°, а ∠DFE = 72°, поэтому DF = DE = AE. Подставляя DF вместо AE, получаем:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
∠EAD = ∠ADE = (180° − 108°) : 2 = 36°.2) В треугольнике ABE стороны AB и AE равны, а ∠BAE = 108°. Следовательно,
∠AEB = 36°.
Так как F лежит на BE, то ∠AEF = 36°. Кроме того, F лежит на AD, поэтому ∠EAF = ∠EAD = 36°. Значит,
∠AFE = 180° − 36° − 36° = 108°.Таким образом, ∠EAD = ∠EAF и ∠AED = ∠AFE. Следовательно, △AED ∼ △AFE по двум углам.3) Из подобия треугольников:
DA/AE = AE/AF.4) Докажем, что AE = DF. Поскольку ∠DEA = 108°, а ∠AEB = 36°, получаем:
∠DEF = 108° − 36° = 72°.
В треугольнике DFE угол при D равен ∠ADE = 36°, поэтому
∠DFE = 180° − 72° − 36° = 72°.
Следовательно, ∠DEF = ∠DFE, значит DF = DE. Но DE = AE, поэтому DF = AE.5) Заменим AE на DF в равенстве DA/AE = AE/AF:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
Кратко В правильном пятиугольнике каждый внутренний угол равен 108°.Так как AE = ED, то в △AED углы при A и D равны 36°. Аналогично из AB = AE получаем ∠AEB = 36°. Поэтому в △AFE углы равны 36°, 36° и 108°, откуда △AED ∼ △AFE.Из подобия:
DA/AE = AE/AF.Кроме того, ∠DEF = 108° − 36° = 72°, а ∠DFE = 72°, поэтому DF = DE = AE. Подставляя DF вместо AE, получаем:
DA/DF = DF/AF.Ответ: а) △AED ∼ △AFE; б) DA/DF = DF/AF.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Площади треугольников БОС и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.
Задание учебника 2023 года
На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: a) треугольник AED и треугольник AFE; 6)DA/DF=DF/AF
