Упр.846 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать формулу площади трапеции через боковую сторонуС пояснением
Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC, а AB и CD — её боковые стороны. M — середина CD, MH ⟂ AB. Обозначим через h высоту трапеции.1) Проведём из C и D перпендикуляры CK и DL к прямой AB. Так как M — середина CD, расстояние от M до прямой AB равно среднему арифметическому расстояний от C и D до этой прямой:
MH = (CK + DL) : 2.2) Параллелограмм со сторонами AB и BC можно считать имеющим основание AB и высоту CK или основание BC и высоту h. Поэтому
AB · CK = BC · h.
Аналогично для параллелограмма со сторонами AB и AD:
AB · DL = AD · h.3) Тогда
AB · MH = AB · (CK + DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2.Но (AD + BC)h / 2 — площадь трапеции ABCD. Следовательно,
S₍ABCD₎ = AB · MH.Ответ: площадь трапеции равна произведению боковой стороны AB на перпендикуляр MH, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой AB.
Кратко Пусть AD ∥ BC, M — середина боковой стороны CD, MH ⟂ AB. Проведём CK ⟂ AB и DL ⟂ AB. Тогда
MH = (CK + DL) / 2.Если h — высота трапеции, то из формул площади параллелограмма:
AB · CK = BC · h,
AB · DL = AD · h.Поэтому
AB · MH = (AB · CK + AB · DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2 = S₍ABCD₎.Ответ: S₍ABCD₎ = AB · MH.
MH = (CK + DL) : 2.2) Параллелограмм со сторонами AB и BC можно считать имеющим основание AB и высоту CK или основание BC и высоту h. Поэтому
AB · CK = BC · h.
Аналогично для параллелограмма со сторонами AB и AD:
AB · DL = AD · h.3) Тогда
AB · MH = AB · (CK + DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2.Но (AD + BC)h / 2 — площадь трапеции ABCD. Следовательно,
S₍ABCD₎ = AB · MH.Ответ: площадь трапеции равна произведению боковой стороны AB на перпендикуляр MH, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой AB.
Кратко Пусть AD ∥ BC, M — середина боковой стороны CD, MH ⟂ AB. Проведём CK ⟂ AB и DL ⟂ AB. Тогда
MH = (CK + DL) / 2.Если h — высота трапеции, то из формул площади параллелограмма:
AB · CK = BC · h,
AB · DL = AD · h.Поэтому
AB · MH = (AB · CK + AB · DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2 = S₍ABCD₎.Ответ: S₍ABCD₎ = AB · MH.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство OA² + OB² = 5OC²С пояснением
Опустим OD ⟂ AC и OE ⟂ BC, где D ∈ AC, E ∈ BC.1) Так как три данных треугольника имеют равные площади, каждый из них составляет треть площади треугольника ABC:
S(OAC) = 1/3 S(ABC).
У треугольников OAC и ABC общее основание AC, поэтому их высоты относятся так же, как площади:
OD = 1/3 BC.
Аналогично OE = 1/3 AC.2) Четырёхугольник CDOE — прямоугольник, поэтому:
CD = OE = 1/3 AC,
CE = OD = 1/3 BC.
Следовательно:
AD = 2/3 AC, BE = 2/3 BC.3) По теореме Пифагора:
OA² = AD² + OD² = 4/9 AC² + 1/9 BC²,
OB² = BE² + OE² = 4/9 BC² + 1/9 AC².Поэтому:
OA² + OB² = 5/9(AC² + BC²).4) Также по теореме Пифагора:
OC² = CD² + OD² = 1/9(AC² + BC²).Значит, OA² + OB² = 5OC².Ответ: доказано, что OA² + OB² = 5OC².
Кратко Опустим OD ⟂ AC и OE ⟂ BC. Равные площади составляют по 1/3 площади △ABC, поэтому
OD = BC/3, OE = AC/3.Так как CDOE — прямоугольник, то
CD = AC/3, CE = BC/3,
AD = 2AC/3, BE = 2BC/3.По теореме Пифагора:
OA² + OB² = (4AC² + BC²)/9 + (AC² + 4BC²)/9 = 5(AC² + BC²)/9,
OC² = (AC² + BC²)/9.
Следовательно, OA² + OB² = 5OC².Ответ: OA² + OB² = 5OC².
S(OAC) = 1/3 S(ABC).
У треугольников OAC и ABC общее основание AC, поэтому их высоты относятся так же, как площади:
OD = 1/3 BC.
Аналогично OE = 1/3 AC.2) Четырёхугольник CDOE — прямоугольник, поэтому:
CD = OE = 1/3 AC,
CE = OD = 1/3 BC.
Следовательно:
AD = 2/3 AC, BE = 2/3 BC.3) По теореме Пифагора:
OA² = AD² + OD² = 4/9 AC² + 1/9 BC²,
OB² = BE² + OE² = 4/9 BC² + 1/9 AC².Поэтому:
OA² + OB² = 5/9(AC² + BC²).4) Также по теореме Пифагора:
OC² = CD² + OD² = 1/9(AC² + BC²).Значит, OA² + OB² = 5OC².Ответ: доказано, что OA² + OB² = 5OC².
Кратко Опустим OD ⟂ AC и OE ⟂ BC. Равные площади составляют по 1/3 площади △ABC, поэтому
OD = BC/3, OE = AC/3.Так как CDOE — прямоугольник, то
CD = AC/3, CE = BC/3,
AD = 2AC/3, BE = 2BC/3.По теореме Пифагора:
OA² + OB² = (4AC² + BC²)/9 + (AC² + 4BC²)/9 = 5(AC² + BC²)/9,
OC² = (AC² + BC²)/9.
Следовательно, OA² + OB² = 5OC².Ответ: OA² + OB² = 5OC².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
Задание учебника 2023 года
Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенство SOAB = SOAC = SOBC. Докажите, что справедливо равенство ОА2 + ОВ2 = 5ОС2.
