Упр.845 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать образование параллелограмма и найти отношение площадейС пояснением
Обозначим точки пересечения:
E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.1) Введём координаты относительно сторон AB и AD: A(0; 0), B(1; 0), D(0; 1), C(1; 1). Тогда
P(1/2; 0), Q(1; 1/2), R(1/2; 1), T(0; 1/2).2) Уравнения проведённых прямых:
AQ: y = x/2;
BR: y = −2x + 2;
CT: y = x/2 + 1/2;
DP: y = −2x + 1.Решая попарно эти уравнения, получаем:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).3) При переходе от E к F координаты изменяются на (−1/5; 2/5), и так же изменяются координаты при переходе от H к G. Значит, EF ∥ HG и EF = HG.При переходе от F к G и от E к H координаты изменяются одинаково: (−2/5; −1/5). Поэтому FG ∥ EH и FG = EH. Следовательно, EFGH — параллелограмм.4) Площадь параллелограмма, построенного на отрезках с изменениями координат (−1/5; 2/5) и (−2/5; −1/5), составляет
|((−1/5) · (−1/5) − (2/5) · (−2/5))| = 1/5
площади ABCD.Ответ: при пересечении прямых образуется параллелограмм; его площадь относится к площади ABCD как 1 : 5.
Кратко Пусть E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.В координатах относительно сторон AB и AD:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).Изменения координат от E к F и от H к G равны (−1/5; 2/5), а от F к G и от E к H — (−2/5; −1/5). Значит, противоположные стороны равны и параллельны, поэтому EFGH — параллелограмм.S(EFGH) : S(ABCD) = 1 : 5.Ответ: образуется параллелограмм; отношение площадей равно 1 : 5.
E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.1) Введём координаты относительно сторон AB и AD: A(0; 0), B(1; 0), D(0; 1), C(1; 1). Тогда
P(1/2; 0), Q(1; 1/2), R(1/2; 1), T(0; 1/2).2) Уравнения проведённых прямых:
AQ: y = x/2;
BR: y = −2x + 2;
CT: y = x/2 + 1/2;
DP: y = −2x + 1.Решая попарно эти уравнения, получаем:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).3) При переходе от E к F координаты изменяются на (−1/5; 2/5), и так же изменяются координаты при переходе от H к G. Значит, EF ∥ HG и EF = HG.При переходе от F к G и от E к H координаты изменяются одинаково: (−2/5; −1/5). Поэтому FG ∥ EH и FG = EH. Следовательно, EFGH — параллелограмм.4) Площадь параллелограмма, построенного на отрезках с изменениями координат (−1/5; 2/5) и (−2/5; −1/5), составляет
|((−1/5) · (−1/5) − (2/5) · (−2/5))| = 1/5
площади ABCD.Ответ: при пересечении прямых образуется параллелограмм; его площадь относится к площади ABCD как 1 : 5.
Кратко Пусть E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.В координатах относительно сторон AB и AD:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).Изменения координат от E к F и от H к G равны (−1/5; 2/5), а от F к G и от E к H — (−2/5; −1/5). Значит, противоположные стороны равны и параллельны, поэтому EFGH — параллелограмм.S(EFGH) : S(ABCD) = 1 : 5.Ответ: образуется параллелограмм; отношение площадей равно 1 : 5.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что MB = KBС пояснением
1) Так как BD — высота треугольника ABC, то треугольники ABD и CBD прямоугольные. По теореме Пифагора:
AB² = AD² + BD²,
BC² = DC² + BD².2) Треугольник KAB прямоугольный, так как KA ⟂ AB. Поэтому
KB² = KA² + AB².
Учитывая, что KA = DC, получаем:
KB² = DC² + AD² + BD².3) Треугольник MCB прямоугольный, так как CM ⟂ BC. Поэтому
MB² = CM² + BC².
Учитывая, что CM = AD, получаем:
MB² = AD² + DC² + BD².Следовательно, KB² = MB², значит, KB = MB.Ответ: MB = KB.
Кратко По теореме Пифагора:
KB² = KA² + AB² = DC² + AD² + BD²,
MB² = CM² + BC² = AD² + DC² + BD².
Следовательно, KB² = MB², поэтому KB = MB.Ответ: MB = KB.
AB² = AD² + BD²,
BC² = DC² + BD².2) Треугольник KAB прямоугольный, так как KA ⟂ AB. Поэтому
KB² = KA² + AB².
Учитывая, что KA = DC, получаем:
KB² = DC² + AD² + BD².3) Треугольник MCB прямоугольный, так как CM ⟂ BC. Поэтому
MB² = CM² + BC².
Учитывая, что CM = AD, получаем:
MB² = AD² + DC² + BD².Следовательно, KB² = MB², значит, KB = MB.Ответ: MB = KB.
Кратко По теореме Пифагора:
KB² = KA² + AB² = DC² + AD² + BD²,
MB² = CM² + BC² = AD² + DC² + BD².
Следовательно, KB² = MB², поэтому KB = MB.Ответ: MB = KB.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок КА перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки MB и КВ равны.
