Упр.843 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти площадь треугольника CMKС пояснением
Обозначим площадь треугольника ABC через S, а отношения CM : CA и CK : CB — через m и k.1) Треугольники CMK и CAB имеют общий угол C, а их стороны, заключающие этот угол, относятся как m и k. Поэтому
S(CMK) = mkS.2) Сравнивая площади треугольников с общей высотой и учитывая, что O лежит на AK и BM, получаем
mk = S1S3/S2².3) Площадь треугольника ABM равна S1 + S2, поэтому
(1 − m)S = S1 + S2.
Аналогично для треугольника ABK:
(1 − k)S = S2 + S3.Перемножим равенства:
(S − S1 − S2)(S − S2 − S3) = mkS² = S1S3S²/S2².
После раскрытия скобок один корень равен S2, но он не подходит, так как S > S1 + S2. Второй корень:
S = (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3).4) Тогда
S(CMK) = S1S3/S2² · (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3)
= S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
Кратко Пусть S — площадь треугольника ABC. Из отношений площадей треугольников с общими высотами получаем
CM/CA · CK/CB = S1S3/S2².Так как S(ABM) = S1 + S2 и S(ABK) = S2 + S3, то
S = S2(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2² − S1S3).Следовательно,
S(CMK) = S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
S(CMK) = mkS.2) Сравнивая площади треугольников с общей высотой и учитывая, что O лежит на AK и BM, получаем
mk = S1S3/S2².3) Площадь треугольника ABM равна S1 + S2, поэтому
(1 − m)S = S1 + S2.
Аналогично для треугольника ABK:
(1 − k)S = S2 + S3.Перемножим равенства:
(S − S1 − S2)(S − S2 − S3) = mkS² = S1S3S²/S2².
После раскрытия скобок один корень равен S2, но он не подходит, так как S > S1 + S2. Второй корень:
S = (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3).4) Тогда
S(CMK) = S1S3/S2² · (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3)
= S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
Кратко Пусть S — площадь треугольника ABC. Из отношений площадей треугольников с общими высотами получаем
CM/CA · CK/CB = S1S3/S2².Так как S(ABM) = S1 + S2 и S(ABK) = S2 + S3, то
S = S2(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2² − S1S3).Следовательно,
S(CMK) = S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти угол BKM через угол BAC = αС пояснением
1) Опустим из точек M и C перпендикуляры на прямую BA. Полученные прямоугольные треугольники подобны, поэтому их высоты относятся как BM : BC.2) Так как площади треугольников BDM и BCK равны, то
BD · BM = BK · BC,
откуда BM : BC = BK : BD.3) Угол MBK равен углу CBD. Следовательно, треугольники BMK и BCD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∠BKM = ∠BDC.4) По условию AD = AC, значит, треугольник ACD равнобедренный. Угол BAC — внешний угол этого треугольника при вершине A, поэтому
∠ADC = ∠ACD = α : 2.
Так как лучи DB и DA совпадают, ∠BDC = ∠ADC = α : 2.Ответ: ∠BKM = α/2.
Кратко Из равенства площадей получаем BD · BM = BC · BK, поэтому BM : BC = BK : BD. Так как ∠MBK = ∠CBD, треугольники BMK и BCD подобны. Значит, ∠BKM = ∠BDC.В равнобедренном треугольнике ACD имеем AD = AC, а его внешний угол BAC = α. Поэтому ∠BDC = ∠ADC = α/2.Ответ: ∠BKM = α/2.
BD · BM = BK · BC,
откуда BM : BC = BK : BD.3) Угол MBK равен углу CBD. Следовательно, треугольники BMK и BCD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∠BKM = ∠BDC.4) По условию AD = AC, значит, треугольник ACD равнобедренный. Угол BAC — внешний угол этого треугольника при вершине A, поэтому
∠ADC = ∠ACD = α : 2.
Так как лучи DB и DA совпадают, ∠BDC = ∠ADC = α : 2.Ответ: ∠BKM = α/2.
Кратко Из равенства площадей получаем BD · BM = BC · BK, поэтому BM : BC = BK : BD. Так как ∠MBK = ∠CBD, треугольники BMK и BCD подобны. Значит, ∠BKM = ∠BDC.В равнобедренном треугольнике ACD имеем AD = AC, а его внешний угол BAC = α. Поэтому ∠BDC = ∠ADC = α/2.Ответ: ∠BKM = α/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки М и К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВК равны соответственно S1, S2, S3.
Задание учебника 2023 года
Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если угол BAC = а.
