Упр.842 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство площадей и обратное утверждениеС пояснением
Обозначим площадь параллелограмма ABCD через S и введём отношения
x = AP/AB, y = AT/AD.
Так как APMT — параллелограмм, положение точки M определяется этими отношениями.1) У параллелограмма MPBQ сторона PB составляет 1 − x от стороны AB, а его высота составляет y от высоты ABCD. Поэтому
S(MPBQ) = (1 − x)yS.2) У параллелограмма MRDT сторона DT составляет x от стороны AB, а его высота составляет 1 − y от высоты ABCD. Поэтому
S(MRDT) = x(1 − y)S.3) Если M лежит на диагонали AC, то из подобия треугольников, образованных диагональю и прямыми, параллельными сторонам параллелограмма, получаем x = y. Следовательно,
S(MPBQ) = (1 − x)xS,
S(MRDT) = x(1 − x)S.
Значит, их площади равны.4) Обратно, пусть площади равны. Тогда
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
(1 − x)y = x(1 − y),
y − xy = x − xy,
y = x.
Равенство x = y означает, что точка M делит направления сторон AB и AD в одинаковом отношении. По обратному утверждению о подобных треугольниках такая точка лежит на диагонали AC.Ответ: S(MPBQ) = S(MRDT) тогда и только тогда, когда M лежит на диагонали AC.
Кратко Пусть x = AP/AB, y = AT/AD, а S — площадь ABCD. Тогда
S(MPBQ) = (1 − x)yS,
S(MRDT) = x(1 − y)S.Если M ∈ AC, то x = y, поэтому обе площади равны x(1 − x)S.Обратно, из равенства площадей получаем
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
откуда y = x. Следовательно, M лежит на диагонали AC.Ответ: площади MPBQ и MRDT равны тогда и только тогда, когда M ∈ AC.
x = AP/AB, y = AT/AD.
Так как APMT — параллелограмм, положение точки M определяется этими отношениями.1) У параллелограмма MPBQ сторона PB составляет 1 − x от стороны AB, а его высота составляет y от высоты ABCD. Поэтому
S(MPBQ) = (1 − x)yS.2) У параллелограмма MRDT сторона DT составляет x от стороны AB, а его высота составляет 1 − y от высоты ABCD. Поэтому
S(MRDT) = x(1 − y)S.3) Если M лежит на диагонали AC, то из подобия треугольников, образованных диагональю и прямыми, параллельными сторонам параллелограмма, получаем x = y. Следовательно,
S(MPBQ) = (1 − x)xS,
S(MRDT) = x(1 − x)S.
Значит, их площади равны.4) Обратно, пусть площади равны. Тогда
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
(1 − x)y = x(1 − y),
y − xy = x − xy,
y = x.
Равенство x = y означает, что точка M делит направления сторон AB и AD в одинаковом отношении. По обратному утверждению о подобных треугольниках такая точка лежит на диагонали AC.Ответ: S(MPBQ) = S(MRDT) тогда и только тогда, когда M лежит на диагонали AC.
Кратко Пусть x = AP/AB, y = AT/AD, а S — площадь ABCD. Тогда
S(MPBQ) = (1 − x)yS,
S(MRDT) = x(1 − y)S.Если M ∈ AC, то x = y, поэтому обе площади равны x(1 − x)S.Обратно, из равенства площадей получаем
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
откуда y = x. Следовательно, M лежит на диагонали AC.Ответ: площади MPBQ и MRDT равны тогда и только тогда, когда M ∈ AC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать параллельность прямых BE и CTС пояснением
1) Возьмём направления диагоналей AC и BD за координатные направления, а отрезки OA и OB — за единичные, где O — точка пересечения диагоналей. Тогда
A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d),
где c = OC/OA, d = OD/OB.Такие координаты можно использовать и для неперпендикулярных направлений: координаты точки определяются с помощью прямых, параллельных AC и BD. Уравнение прямой, проходящей через точки (p; 0) и (0; q), имеет вид x/p + y/q = 1; это следует из подобия треугольников.2) Пусть прямая MK, проходящая через O, задаётся соотношением y = sx. Так как M лежит на AB, а прямая AB имеет уравнение x + y = 1, получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)).3) Для прямой CD имеем x/c + y/d = −1. Поэтому для точки K, лежащей одновременно на CD и на y = sx, получаем
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).4) Прямая ME параллельна CD, поэтому для всех её точек величина x/c + y/d постоянна. Так как E лежит на AC, её вторая координата равна нулю. Следовательно,
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0).
Обозначим первую координату E через e.5) Прямая KT параллельна AB, поэтому на ней постоянна сумма x + y. Точка T лежит на BD, то есть её первая координата равна нулю. Поэтому
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).
Обозначим вторую координату T через t.6) Перемножим найденные координаты:
et = (d + cs)/(d(1 + s)) · (−cd(1 + s)/(d + cs)) = −c.
Значит, (e; −1) и (c; t) — пропорциональные пары координат. Это направляющие пары для прямых BE и CT соответственно. Следовательно, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Возьмём направления AC и BD за координатные и положим A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d).Пусть MK задаётся равенством y = sx. Тогда из условий M ∈ AB и K ∈ CD получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)),
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).Из ME ∥ CD и KT ∥ AB следует
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0),
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).Если координаты E и T обозначить через e и t, то et = −c. Поэтому направляющие пары (e; −1) для BE и (c; t) для CT пропорциональны. Значит, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d),
где c = OC/OA, d = OD/OB.Такие координаты можно использовать и для неперпендикулярных направлений: координаты точки определяются с помощью прямых, параллельных AC и BD. Уравнение прямой, проходящей через точки (p; 0) и (0; q), имеет вид x/p + y/q = 1; это следует из подобия треугольников.2) Пусть прямая MK, проходящая через O, задаётся соотношением y = sx. Так как M лежит на AB, а прямая AB имеет уравнение x + y = 1, получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)).3) Для прямой CD имеем x/c + y/d = −1. Поэтому для точки K, лежащей одновременно на CD и на y = sx, получаем
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).4) Прямая ME параллельна CD, поэтому для всех её точек величина x/c + y/d постоянна. Так как E лежит на AC, её вторая координата равна нулю. Следовательно,
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0).
Обозначим первую координату E через e.5) Прямая KT параллельна AB, поэтому на ней постоянна сумма x + y. Точка T лежит на BD, то есть её первая координата равна нулю. Поэтому
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).
Обозначим вторую координату T через t.6) Перемножим найденные координаты:
et = (d + cs)/(d(1 + s)) · (−cd(1 + s)/(d + cs)) = −c.
Значит, (e; −1) и (c; t) — пропорциональные пары координат. Это направляющие пары для прямых BE и CT соответственно. Следовательно, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Возьмём направления AC и BD за координатные и положим A(1; 0), B(0; 1), C(−c; 0), D(0; −d).Пусть MK задаётся равенством y = sx. Тогда из условий M ∈ AB и K ∈ CD получаем
M(1/(1 + s); s/(1 + s)),
K(−cd/(d + cs); −scd/(d + cs)).Из ME ∥ CD и KT ∥ AB следует
E((d + cs)/(d(1 + s)); 0),
T(0; −cd(1 + s)/(d + cs)).Если координаты E и T обозначить через e и t, то et = −c. Поэтому направляющие пары (e; −1) для BE и (c; t) для CT пропорциональны. Значит, BE ∥ CT.Ответ: BE ∥ CT.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.
Задание учебника 2023 года
Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.
