Упр.841 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать признаки равнобедренного и равностороннего треугольниковС пояснением
Пусть ось симметрии треугольника ABC переводит треугольник в себя.1) При отражении относительно оси вершины треугольника переходят в его вершины. Все три вершины не могут оставаться на месте, иначе они лежали бы на одной прямой. Поэтому одна вершина остаётся на месте, а две другие меняются местами.2) Пусть вершина A остаётся на месте, а B и C меняются местами. Тогда отрезок AB при отражении переходит в AC. Симметрия сохраняет длины, следовательно, AB = AC. Значит, треугольник ABC равнобедренный.3) Если у треугольника есть ещё одна ось симметрии, она не может менять местами те же вершины B и C: такая ось должна быть серединным перпендикуляром к BC, а он единственный. Поэтому другая ось меняет местами другую пару вершин, например A и C. Тогда AB = BC.4) Из AB = AC и AB = BC следует AB = BC = AC. Значит, треугольник равносторонний.Ответ: а) треугольник равнобедренный; б) треугольник равносторонний.
Кратко а) Ось симметрии оставляет одну вершину треугольника на месте, а две другие меняет местами. Поэтому две соответствующие стороны равны, то есть треугольник равнобедренный.б) Вторая ось симметрии меняет местами уже другую пару вершин и даёт равенство ещё двух сторон. Следовательно, все три стороны треугольника равны.Ответ: а) равнобедренный треугольник; б) равносторонний треугольник.
Кратко а) Ось симметрии оставляет одну вершину треугольника на месте, а две другие меняет местами. Поэтому две соответствующие стороны равны, то есть треугольник равнобедренный.б) Вторая ось симметрии меняет местами уже другую пару вершин и даёт равенство ещё двух сторон. Следовательно, все три стороны треугольника равны.Ответ: а) равнобедренный треугольник; б) равносторонний треугольник.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти площадь параллелограмма ABCDС пояснением
Обозначим площадь параллелограмма ABCD через S.1) Треугольники KBC и CDM подобны: KB ∥ CD, BC ∥ DM, а точки K, C и M лежат на одной прямой. Поэтому
KB/CD = BC/DM.
Так как CD = AB и BC = AD, получаем:
KB/AB · DM/AD = 1.2) Треугольник KBC и параллелограмм имеют высоты к прямой AB одинаковой длины, поэтому
S₁/S = KB/(2AB).
Значит, KB/AB = 2S₁/S.Аналогично для треугольника CDM:
DM/AD = 2S₂/S.3) Подставим эти отношения:
2S₁/S · 2S₂/S = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
Кратко Пусть S — площадь параллелограмма. Из подобия треугольников KBC и CDM и формулы площади получаем:
(2S₁/S) · (2S₂/S) = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
KB/CD = BC/DM.
Так как CD = AB и BC = AD, получаем:
KB/AB · DM/AD = 1.2) Треугольник KBC и параллелограмм имеют высоты к прямой AB одинаковой длины, поэтому
S₁/S = KB/(2AB).
Значит, KB/AB = 2S₁/S.Аналогично для треугольника CDM:
DM/AD = 2S₂/S.3) Подставим эти отношения:
2S₁/S · 2S₂/S = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
Кратко Пусть S — площадь параллелограмма. Из подобия треугольников KBC и CDM и формулы площади получаем:
(2S₁/S) · (2S₂/S) = 1,
S² = 4S₁S₂,
S = 2√(S₁S₂).Ответ: 2√(S₁S₂).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.
Задание учебника 2023 года
Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно S1 и S2.
