Упр.839 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2023)
Решение #3 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство площадей четырёхугольника и треугольниковС пояснением
Обозначим P = KD ∩ AM, Q = KC ∩ BM. Тогда заключённый между отрезками четырёхугольник — KPMQ.1) Так как M — середина DC, то DM = MC. Поэтому
S(ADM) = 1/2 S(ADC),
S(BCM) = 1/2 S(BCD).
Следовательно,
S(ADM) + S(BCM) = 1/2 S(ABCD).2) Точка K — середина AB. Высота от K к прямой DC равна полусумме высот от A и B к этой прямой. Поэтому
S(KDC) = 1/2(S(ADC) + S(BCD)) = 1/2 S(ABCD).
Значит,
S(KDC) = S(ADM) + S(BCM).3) Отрезок MP делит треугольник ADM на треугольники ADP и DMP, а MQ делит треугольник BCM на треугольники BCQ и CMQ:
S(ADM) = S(ADP) + S(DMP),
S(BCM) = S(BCQ) + S(CMQ).4) Треугольник KDC состоит из четырёхугольника KPMQ и треугольников DMP, CMQ:
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ).Подставляя полученные равенства и вычитая площади треугольников DMP и CMQ, получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей треугольников ADP и BCQ, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть P = KD ∩ AM, Q = KC ∩ BM.Так как K и M — середины AB и DC, то
S(KDC) = 1/2 S(ABCD) = S(ADM) + S(BCM).При этом
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ),
S(ADM) + S(BCM) = S(ADP) + S(BCQ) + S(DMP) + S(CMQ).Вычитая одинаковые площади S(DMP) и S(CMQ), получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей прилежащих треугольников ADP и BCQ.
S(ADM) = 1/2 S(ADC),
S(BCM) = 1/2 S(BCD).
Следовательно,
S(ADM) + S(BCM) = 1/2 S(ABCD).2) Точка K — середина AB. Высота от K к прямой DC равна полусумме высот от A и B к этой прямой. Поэтому
S(KDC) = 1/2(S(ADC) + S(BCD)) = 1/2 S(ABCD).
Значит,
S(KDC) = S(ADM) + S(BCM).3) Отрезок MP делит треугольник ADM на треугольники ADP и DMP, а MQ делит треугольник BCM на треугольники BCQ и CMQ:
S(ADM) = S(ADP) + S(DMP),
S(BCM) = S(BCQ) + S(CMQ).4) Треугольник KDC состоит из четырёхугольника KPMQ и треугольников DMP, CMQ:
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ).Подставляя полученные равенства и вычитая площади треугольников DMP и CMQ, получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей треугольников ADP и BCQ, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть P = KD ∩ AM, Q = KC ∩ BM.Так как K и M — середины AB и DC, то
S(KDC) = 1/2 S(ABCD) = S(ADM) + S(BCM).При этом
S(KDC) = S(KPMQ) + S(DMP) + S(CMQ),
S(ADM) + S(BCM) = S(ADP) + S(BCQ) + S(DMP) + S(CMQ).Вычитая одинаковые площади S(DMP) и S(CMQ), получаем:
S(KPMQ) = S(ADP) + S(BCQ).Ответ: площадь четырёхугольника KPMQ равна сумме площадей прилежащих треугольников ADP и BCQ.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, АСТМ, ВАНК, а затем параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный.
Задание учебника 2023 года
Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и MB соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС.
