Упр.838 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найдите угол MBCС пояснением
1) Построим внутри квадрата равносторонний треугольник ABE. Тогда ∠EAB = ∠ABE = 60°.
2) Так как AB = BC и AB = BE, то BE = BC. Следовательно, треугольник BEC равнобедренный.
3) ∠EBC = ∠ABC − ∠ABE = 90° − 60° = 30°.
4) Тогда ∠BCE = (180° − 30°) : 2 = 75°, поэтому ∠ECD = 90° − 75° = 15°.
5) Точка E удовлетворяет тем же условиям, что и точка M: ∠EAB = 60° и ∠ECD = 15°. Соответствующие лучи пересекаются в единственной точке, значит, M совпадает с E.
6) Поэтому ∠MBC = ∠EBC = 30°.
Ответ: 30°.
Кратко Построим равносторонний треугольник ABE внутри квадрата. Тогда BE = AB = BC, а ∠EBC = 90° − 60° = 30°. В равнобедренном треугольнике BEC угол BCE равен 75°, поэтому ∠ECD = 15°. Значит, E совпадает с M и ∠MBC = 30°.
Ответ: 30°.
2) Так как AB = BC и AB = BE, то BE = BC. Следовательно, треугольник BEC равнобедренный.
3) ∠EBC = ∠ABC − ∠ABE = 90° − 60° = 30°.
4) Тогда ∠BCE = (180° − 30°) : 2 = 75°, поэтому ∠ECD = 90° − 75° = 15°.
5) Точка E удовлетворяет тем же условиям, что и точка M: ∠EAB = 60° и ∠ECD = 15°. Соответствующие лучи пересекаются в единственной точке, значит, M совпадает с E.
6) Поэтому ∠MBC = ∠EBC = 30°.
Ответ: 30°.
Кратко Построим равносторонний треугольник ABE внутри квадрата. Тогда BE = AB = BC, а ∠EBC = 90° − 60° = 30°. В равнобедренном треугольнике BEC угол BCE равен 75°, поэтому ∠ECD = 15°. Значит, E совпадает с M и ∠MBC = 30°.
Ответ: 30°.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Докажите, что площадь средней части равна третиС пояснением
Обозначим четырёхугольник ABCD. Пусть точки E, F делят AB на три равные части, а точки H, G делят DC на три равные части, причём отрезки EH и FG не пересекаются. Нужно доказать, что S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).1) Проведём диагональ EG. Тогда
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH).2) У треугольников EFG и ABG основания EF и AB лежат на одной прямой, а высота из G общая. Так как EF = 1/3 AB, то
S(EFG) = 1/3 S(ABG).Аналогично, HG = 1/3 DC, поэтому
S(EGH) = 1/3 S(DCE).Следовательно,
S(EFGH) = 1/3(S(ABG) + S(DCE)).3) Поскольку DG : GC = 2 : 1, высота точки G к AB составляет такую же взвешенную часть высот точек D и C. Поэтому
S(ABG) = 1/3 S(ABD) + 2/3 S(ABC).Так как AE : EB = 1 : 2, аналогично
S(DCE) = 2/3 S(DCA) + 1/3 S(DCB).Тогда
S(ABG) + S(DCE)
= 1/3(S(ABD) + S(DCB)) + 2/3(S(ABC) + S(DCA))
= 1/3 S(ABCD) + 2/3 S(ABCD)
= S(ABCD).Значит,
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади четырёхугольника.
Кратко Пусть E, F — точки деления стороны AB, а H, G — соответствующие точки деления стороны DC.Проведём EG. Так как EF = 1/3 AB и HG = 1/3 DC, то
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH)
= 1/3 S(ABG) + 1/3 S(DCE).Из отношений AE : EB = 1 : 2 и DH : HG : GC = 1 : 1 : 1 следует, что
S(ABG) + S(DCE) = S(ABCD).Поэтому
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади всего четырёхугольника.
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH).2) У треугольников EFG и ABG основания EF и AB лежат на одной прямой, а высота из G общая. Так как EF = 1/3 AB, то
S(EFG) = 1/3 S(ABG).Аналогично, HG = 1/3 DC, поэтому
S(EGH) = 1/3 S(DCE).Следовательно,
S(EFGH) = 1/3(S(ABG) + S(DCE)).3) Поскольку DG : GC = 2 : 1, высота точки G к AB составляет такую же взвешенную часть высот точек D и C. Поэтому
S(ABG) = 1/3 S(ABD) + 2/3 S(ABC).Так как AE : EB = 1 : 2, аналогично
S(DCE) = 2/3 S(DCA) + 1/3 S(DCB).Тогда
S(ABG) + S(DCE)
= 1/3(S(ABD) + S(DCB)) + 2/3(S(ABC) + S(DCA))
= 1/3 S(ABCD) + 2/3 S(ABCD)
= S(ABCD).Значит,
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади четырёхугольника.
Кратко Пусть E, F — точки деления стороны AB, а H, G — соответствующие точки деления стороны DC.Проведём EG. Так как EF = 1/3 AB и HG = 1/3 DC, то
S(EFGH) = S(EFG) + S(EGH)
= 1/3 S(ABG) + 1/3 S(DCE).Из отношений AE : EB = 1 : 2 и DH : HG : GC = 1 : 1 : 1 следует, что
S(ABG) + S(DCE) = S(ABCD).Поэтому
S(EFGH) = 1/3 S(ABCD).Ответ: площадь части между отрезками в 3 раза меньше площади всего четырёхугольника.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Внутри квадрата ABCD взята такая точка М, что угол MAB = 60°, угол MCD=15°. Найдите угол MBC.
Задание учебника 2023 года
Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.
