Упр.836 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что высоты содержат биссектрисыС пояснением
1) Так как BB₁ ⟂ AC и CC₁ ⟂ AB, то
∠B₁BA = 90° − ∠A,
∠ACC₁ = 90° − ∠A.
Эти равные вписанные углы стягивают хорды B₁A и AC₁, поэтому B₁A = AC₁. Следовательно,
∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁.
Значит, A₁A — биссектриса угла B₁A₁C₁.2) Аналогично, поскольку AA₁ ⟂ BC и CC₁ ⟂ AB,
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B.
Отсюда A₁B = BC₁, поэтому
∠A₁B₁B = ∠BB₁C₁.
Значит, B₁B — биссектриса угла A₁B₁C₁.3) Так как AA₁ ⟂ BC и BB₁ ⟂ AC,
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C.
Следовательно, A₁C = CB₁, поэтому
∠A₁C₁C = ∠CC₁B₁.
Значит, C₁C — биссектриса угла A₁C₁B₁.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
Кратко ∠B₁BA = ∠ACC₁ = 90° − ∠A, поэтому равны хорды B₁A и AC₁. Значит, ∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁ и A₁A — биссектриса.Аналогично:
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B ⇒ A₁B = BC₁ ⇒ B₁B — биссектриса;
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C ⇒ A₁C = CB₁ ⇒ C₁C — биссектриса.Ответ: AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
∠B₁BA = 90° − ∠A,
∠ACC₁ = 90° − ∠A.
Эти равные вписанные углы стягивают хорды B₁A и AC₁, поэтому B₁A = AC₁. Следовательно,
∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁.
Значит, A₁A — биссектриса угла B₁A₁C₁.2) Аналогично, поскольку AA₁ ⟂ BC и CC₁ ⟂ AB,
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B.
Отсюда A₁B = BC₁, поэтому
∠A₁B₁B = ∠BB₁C₁.
Значит, B₁B — биссектриса угла A₁B₁C₁.3) Так как AA₁ ⟂ BC и BB₁ ⟂ AC,
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C.
Следовательно, A₁C = CB₁, поэтому
∠A₁C₁C = ∠CC₁B₁.
Значит, C₁C — биссектриса угла A₁C₁B₁.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
Кратко ∠B₁BA = ∠ACC₁ = 90° − ∠A, поэтому равны хорды B₁A и AC₁. Значит, ∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁ и A₁A — биссектриса.Аналогично:
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B ⇒ A₁B = BC₁ ⇒ B₁B — биссектриса;
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C ⇒ A₁C = CB₁ ⇒ C₁C — биссектриса.Ответ: AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство площадей треугольников DCM и AKBС пояснением
Обозначим середины диагоналей AC и BD через O и N соответственно. По условию точки O и N лежат на прямой MK.1) Так как O — середина AC, точки A и C равноудалены от прямой MK. Обозначим это расстояние через h₁.2) Так как N — середина BD, точки B и D также равноудалены от прямой MK. Обозначим это расстояние через h₂.3) Отрезок MK делит треугольник AKB на два треугольника:
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM) = 1/2 · MK · h₁ + 1/2 · MK · h₂.4) Тот же отрезок делит треугольник DCM на два треугольника:
S(DCM) = S(DKM) + S(CKM) = 1/2 · MK · h₂ + 1/2 · MK · h₁.Следовательно, S(DCM) = S(AKB).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
Кратко Пусть O и N — середины AC и BD. Так как O, N лежат на MK, расстояния от A и C до MK равны, как и расстояния от B и D до MK.Тогда
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM),
S(DCM) = S(CKM) + S(DKM).У всех четырёх малых треугольников основание MK, а соответствующие высоты попарно равны. Поэтому
S(AKB) = S(DCM).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM) = 1/2 · MK · h₁ + 1/2 · MK · h₂.4) Тот же отрезок делит треугольник DCM на два треугольника:
S(DCM) = S(DKM) + S(CKM) = 1/2 · MK · h₂ + 1/2 · MK · h₁.Следовательно, S(DCM) = S(AKB).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
Кратко Пусть O и N — середины AC и BD. Так как O, N лежат на MK, расстояния от A и C до MK равны, как и расстояния от B и D до MK.Тогда
S(AKB) = S(AKM) + S(BKM),
S(DCM) = S(CKM) + S(DKM).У всех четырёх малых треугольников основание MK, а соответствующие высоты попарно равны. Поэтому
S(AKB) = S(DCM).Ответ: площади треугольников DCM и AKB равны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что AM = ВК + DM.
Задание учебника 2023 года
Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АКВ равны.
