Упр.834 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что биссектрисы образуют квадратС пояснением
Пусть ABCD — прямоугольник, а K, L, M, N — точки пересечения биссектрис углов A и B, B и C, C и D, D и A соответственно.1) Биссектрисы углов A и C параллельны, как и биссектрисы углов B и D. Поэтому KLMN — параллелограмм.2) Биссектрисы двух соседних углов прямоугольника перпендикулярны, так как каждая из них образует со стороной угол 45°. Значит, KLMN — прямоугольник.3) Точка K равноудалена от сторон AD и BC: это следует из свойства биссектрис углов A и B. Точка M также равноудалена от AD и BC. Поэтому KM проходит посередине между параллельными прямыми AD и BC, то есть KM ∥ AD.4) Аналогично точки L и N равноудалены от сторон AB и CD, поэтому LN ∥ AB. Так как AB ⟂ AD, то LN ⟂ KM.5) Итак, KLMN — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны. Такой прямоугольник является квадратом.Ответ: четырёхугольник KLMN — квадрат.
Кратко Обозначим точки пересечения соседних биссектрис через K, L, M, N. Биссектрисы противоположных углов прямоугольника параллельны, а соседних — перпендикулярны, поэтому KLMN — прямоугольник. Его диагонали KM и LN параллельны соответственно сторонам AD и AB, следовательно, KM ⟂ LN. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями является квадратом.Ответ: полученный четырёхугольник — квадрат.
Кратко Обозначим точки пересечения соседних биссектрис через K, L, M, N. Биссектрисы противоположных углов прямоугольника параллельны, а соседних — перпендикулярны, поэтому KLMN — прямоугольник. Его диагонали KM и LN параллельны соответственно сторонам AD и AB, следовательно, KM ⟂ LN. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями является квадратом.Ответ: полученный четырёхугольник — квадрат.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти площадь трапеции через S₁ и S₂С пояснением
Обозначим площади треугольников AOB и COD через S₃ и S₄.1) Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты, поэтому их площади равны. Вычитая из их площадей общую площадь треугольника AOD, получаем:
S₃ = S₄.2) Треугольники AOB и BOC имеют общую высоту, проведённую из B к AC, поэтому
S₃/S₁ = AO/OC.
Аналогично для треугольников AOD и COD:
S₂/S₄ = AO/OC.
Следовательно,
S₃/S₁ = S₂/S₄.
Так как S₃ = S₄, то S₃² = S₁S₂, откуда
S₃ = S₄ = √(S₁S₂).3) Площадь трапеции равна сумме площадей четырёх треугольников:
S = S₁ + S₂ + 2√(S₁S₂) = (√S₁ + √S₂)².Ответ: (√S₁ + √S₂)².
Кратко Площади треугольников AOB и COD равны. Каждая из них равна √(S₁S₂).SABCD = S₁ + S₂ + 2√(S₁S₂) = (√S₁ + √S₂)².Ответ: (√S₁ + √S₂)².
S₃ = S₄.2) Треугольники AOB и BOC имеют общую высоту, проведённую из B к AC, поэтому
S₃/S₁ = AO/OC.
Аналогично для треугольников AOD и COD:
S₂/S₄ = AO/OC.
Следовательно,
S₃/S₁ = S₂/S₄.
Так как S₃ = S₄, то S₃² = S₁S₂, откуда
S₃ = S₄ = √(S₁S₂).3) Площадь трапеции равна сумме площадей четырёх треугольников:
S = S₁ + S₂ + 2√(S₁S₂) = (√S₁ + √S₂)².Ответ: (√S₁ + √S₂)².
Кратко Площади треугольников AOB и COD равны. Каждая из них равна √(S₁S₂).SABCD = S₁ + S₂ + 2√(S₁S₂) = (√S₁ + √S₂)².Ответ: (√S₁ + √S₂)².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.
Дано:
ABCD-прямоуг;
AE,BE-биссект;
CG,DG-биссект;
Доказать:
EFGH-квадр;
Решение:
1) В прямоугольнике ABCD:
угол A=угол B=угол C=угол D=90°;
AB=CD, BC=AD;
2) Рассмотрим треугольник BEA:
угол BAE=угол ABE=1/2•90°=45°;
угол E=180°-(угол A+угол B)=90°;
3) Рассмотрим треугольник CGD:
угол DCG=угол CDG=1/2•90°=45°;
угол G=180°-(угол C+угол D)=90°;
4) Рассмотрим треугольник AFD:
угол DAF=угол ADF=1/2•90°=45°;
угол F=180°-(угол A+угол D)=90°;
угол A=угол D, AF=DF;
5) По гипотенузе и углу:
AB=CD, угол BAE=угол CDG=45°;
треугольник ABE=треугольник CGD,отсюда DG=AE;
6) В четырехугольнике EFGH:
EF=AF-AE=DF-DG=FG;
угол FEH=угол BEA, угол FGH=угол CGD;
угол FEH=угол EFG=угол FGH=90°;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Площади треугольников БОС и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.
