Упр.833 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать перпендикулярность отрезков между точками касанияС пояснением
Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD в точках K, L, M и N соответственно, O — её центр. Нужно доказать, что KM ⟂ LN.1) Угол B образован двумя касательными BK и BL, поэтому
∠B = 180° − ∠KOL.
Аналогично
∠D = 180° − ∠MON.2) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°:
∠B + ∠D = 180°.
Следовательно,
(180° − ∠KOL) + (180° − ∠MON) = 180°,
откуда
∠KOL + ∠MON = 180°.
Значит, сумма дуг KL и MN окружности равна 180°.3) Пусть P — точка пересечения хорд KM и LN. Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 1/2 · 180° = 90°.Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые KM и LN перпендикулярны.
Кратко Пусть K, L, M, N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD, DA, а O — её центр.Так как углы B и D образованы касательными,
∠B = 180° − ∠KOL, ∠D = 180° − ∠MON.
Но ABCD — вписанный четырёхугольник, поэтому ∠B + ∠D = 180°. Значит,
∠KOL + ∠MON = 180°.Если P = KM ∩ LN, то
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 90°.
Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые, соединяющие противоположные точки касания, перпендикулярны.
∠B = 180° − ∠KOL.
Аналогично
∠D = 180° − ∠MON.2) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°:
∠B + ∠D = 180°.
Следовательно,
(180° − ∠KOL) + (180° − ∠MON) = 180°,
откуда
∠KOL + ∠MON = 180°.
Значит, сумма дуг KL и MN окружности равна 180°.3) Пусть P — точка пересечения хорд KM и LN. Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 1/2 · 180° = 90°.Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые KM и LN перпендикулярны.
Кратко Пусть K, L, M, N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD, DA, а O — её центр.Так как углы B и D образованы касательными,
∠B = 180° − ∠KOL, ∠D = 180° − ∠MON.
Но ABCD — вписанный четырёхугольник, поэтому ∠B + ∠D = 180°. Значит,
∠KOL + ∠MON = 180°.Если P = KM ∩ LN, то
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 90°.
Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые, соединяющие противоположные точки касания, перпендикулярны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу площади трапеции через боковую сторонуС пояснением
Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC, а AB и CD — её боковые стороны. M — середина CD, MH ⟂ AB. Обозначим через h высоту трапеции.1) Проведём из C и D перпендикуляры CK и DL к прямой AB. Так как M — середина CD, расстояние от M до прямой AB равно среднему арифметическому расстояний от C и D до этой прямой:
MH = (CK + DL) : 2.2) Параллелограмм со сторонами AB и BC можно считать имеющим основание AB и высоту CK или основание BC и высоту h. Поэтому
AB · CK = BC · h.
Аналогично для параллелограмма со сторонами AB и AD:
AB · DL = AD · h.3) Тогда
AB · MH = AB · (CK + DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2.Но (AD + BC)h / 2 — площадь трапеции ABCD. Следовательно,
S₍ABCD₎ = AB · MH.Ответ: площадь трапеции равна произведению боковой стороны AB на перпендикуляр MH, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой AB.
Кратко Пусть AD ∥ BC, M — середина боковой стороны CD, MH ⟂ AB. Проведём CK ⟂ AB и DL ⟂ AB. Тогда
MH = (CK + DL) / 2.Если h — высота трапеции, то из формул площади параллелограмма:
AB · CK = BC · h,
AB · DL = AD · h.Поэтому
AB · MH = (AB · CK + AB · DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2 = S₍ABCD₎.Ответ: S₍ABCD₎ = AB · MH.
MH = (CK + DL) : 2.2) Параллелограмм со сторонами AB и BC можно считать имеющим основание AB и высоту CK или основание BC и высоту h. Поэтому
AB · CK = BC · h.
Аналогично для параллелограмма со сторонами AB и AD:
AB · DL = AD · h.3) Тогда
AB · MH = AB · (CK + DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2.Но (AD + BC)h / 2 — площадь трапеции ABCD. Следовательно,
S₍ABCD₎ = AB · MH.Ответ: площадь трапеции равна произведению боковой стороны AB на перпендикуляр MH, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой AB.
Кратко Пусть AD ∥ BC, M — середина боковой стороны CD, MH ⟂ AB. Проведём CK ⟂ AB и DL ⟂ AB. Тогда
MH = (CK + DL) / 2.Если h — высота трапеции, то из формул площади параллелограмма:
AB · CK = BC · h,
AB · DL = AD · h.Поэтому
AB · MH = (AB · CK + AB · DL) / 2 = (BC · h + AD · h) / 2 = (AD + BC)h / 2 = S₍ABCD₎.Ответ: S₍ABCD₎ = AB · MH.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
