Упр.832 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти множество середин отрезковС пояснением
Пусть A — данная точка, а l — данная прямая. Опустим из A перпендикуляр AH на l и обозначим через N середину AH.1) Через N проведём прямую m, параллельную l.2) Возьмём любую точку X на прямой l и обозначим через M середину AX. В треугольнике AXH отрезок MN соединяет середины сторон AX и AH, поэтому MN ∥ XH. Значит, M лежит на прямой m.3) Верно и обратное: для любой точки M прямой m прямая AM пересечёт l в некоторой точке X. Так как MN ∥ XH и N — середина AH, то по признаку средней линии M — середина AX.Ответ: прямая, параллельная данной и проходящая через середину перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
Кратко Пусть AH — перпендикуляр к данной прямой, а N — середина AH. Искомое множество — прямая, проходящая через N параллельно данной прямой.Ответ: прямая, параллельная данной и расположенная от неё на половине расстояния до данной точки.
Кратко Пусть AH — перпендикуляр к данной прямой, а N — середина AH. Искомое множество — прямая, проходящая через N параллельно данной прямой.Ответ: прямая, параллельная данной и расположенная от неё на половине расстояния до данной точки.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать образование параллелограмма и найти отношение площадейС пояснением
Обозначим точки пересечения:
E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.1) Введём координаты относительно сторон AB и AD: A(0; 0), B(1; 0), D(0; 1), C(1; 1). Тогда
P(1/2; 0), Q(1; 1/2), R(1/2; 1), T(0; 1/2).2) Уравнения проведённых прямых:
AQ: y = x/2;
BR: y = −2x + 2;
CT: y = x/2 + 1/2;
DP: y = −2x + 1.Решая попарно эти уравнения, получаем:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).3) При переходе от E к F координаты изменяются на (−1/5; 2/5), и так же изменяются координаты при переходе от H к G. Значит, EF ∥ HG и EF = HG.При переходе от F к G и от E к H координаты изменяются одинаково: (−2/5; −1/5). Поэтому FG ∥ EH и FG = EH. Следовательно, EFGH — параллелограмм.4) Площадь параллелограмма, построенного на отрезках с изменениями координат (−1/5; 2/5) и (−2/5; −1/5), составляет
|((−1/5) · (−1/5) − (2/5) · (−2/5))| = 1/5
площади ABCD.Ответ: при пересечении прямых образуется параллелограмм; его площадь относится к площади ABCD как 1 : 5.
Кратко Пусть E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.В координатах относительно сторон AB и AD:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).Изменения координат от E к F и от H к G равны (−1/5; 2/5), а от F к G и от E к H — (−2/5; −1/5). Значит, противоположные стороны равны и параллельны, поэтому EFGH — параллелограмм.S(EFGH) : S(ABCD) = 1 : 5.Ответ: образуется параллелограмм; отношение площадей равно 1 : 5.
E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.1) Введём координаты относительно сторон AB и AD: A(0; 0), B(1; 0), D(0; 1), C(1; 1). Тогда
P(1/2; 0), Q(1; 1/2), R(1/2; 1), T(0; 1/2).2) Уравнения проведённых прямых:
AQ: y = x/2;
BR: y = −2x + 2;
CT: y = x/2 + 1/2;
DP: y = −2x + 1.Решая попарно эти уравнения, получаем:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).3) При переходе от E к F координаты изменяются на (−1/5; 2/5), и так же изменяются координаты при переходе от H к G. Значит, EF ∥ HG и EF = HG.При переходе от F к G и от E к H координаты изменяются одинаково: (−2/5; −1/5). Поэтому FG ∥ EH и FG = EH. Следовательно, EFGH — параллелограмм.4) Площадь параллелограмма, построенного на отрезках с изменениями координат (−1/5; 2/5) и (−2/5; −1/5), составляет
|((−1/5) · (−1/5) − (2/5) · (−2/5))| = 1/5
площади ABCD.Ответ: при пересечении прямых образуется параллелограмм; его площадь относится к площади ABCD как 1 : 5.
Кратко Пусть E = AQ ∩ BR, F = BR ∩ CT, G = CT ∩ DP, H = DP ∩ AQ.В координатах относительно сторон AB и AD:
E(4/5; 2/5), F(3/5; 4/5), G(1/5; 3/5), H(2/5; 1/5).Изменения координат от E к F и от H к G равны (−1/5; 2/5), а от F к G и от E к H — (−2/5; −1/5). Значит, противоположные стороны равны и параллельны, поэтому EFGH — параллелограмм.S(EFGH) : S(ABCD) = 1 : 5.Ответ: образуется параллелограмм; отношение площадей равно 1 : 5.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.
Задание учебника 2023 года
Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.
