Упр.831 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что четырёхугольник является ромбомС пояснением
Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O.1) Используем следующую лемму: если точка O лежит внутри выпуклого четырёхугольника и
AB + AO + BO = BC + BO + CO = CD + CO + DO = DA + DO + AO,
то O — середина обеих диагоналей.Докажем лемму. Из равенства периметров соседних треугольников получаем:
AB − BC = CO − AO,
BC − CD = DO − BO,
CD − DA = AO − CO,
DA − AB = BO − DO.
Если, например, AO > CO, то первое и третье равенства дают BC > AB и CD > DA. Если BO > DO, то второе и четвёртое дают CD > BC и DA > AB. Получается замкнутая цепочка строгих неравенств:
AB < BC < CD < DA < AB,
что невозможно. При BO ≤ DO аналогично получается противоположная замкнутая цепочка. Значит, AO = CO. Так же доказывается, что BO = DO.2) Следовательно, диагонали четырёхугольника делятся точкой O пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.3) Так как AO = CO и BO = DO, из равенства периметров треугольников AOB и BOC имеем:
AB + AO + BO = BC + CO + BO,
откуда AB = BC.4) Параллелограмм, у которого соседние стороны равны, является ромбом.Ответ: ABCD — ромб.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Из равенства четырёх периметров следует, что AO = CO и BO = DO, поэтому диагонали делятся пополам и ABCD — параллелограмм.Для треугольников AOB и BOC:
AB + AO + BO = BC + CO + BO.
Так как AO = CO, то AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.Ответ: четырёхугольник является ромбом.
AB + AO + BO = BC + BO + CO = CD + CO + DO = DA + DO + AO,
то O — середина обеих диагоналей.Докажем лемму. Из равенства периметров соседних треугольников получаем:
AB − BC = CO − AO,
BC − CD = DO − BO,
CD − DA = AO − CO,
DA − AB = BO − DO.
Если, например, AO > CO, то первое и третье равенства дают BC > AB и CD > DA. Если BO > DO, то второе и четвёртое дают CD > BC и DA > AB. Получается замкнутая цепочка строгих неравенств:
AB < BC < CD < DA < AB,
что невозможно. При BO ≤ DO аналогично получается противоположная замкнутая цепочка. Значит, AO = CO. Так же доказывается, что BO = DO.2) Следовательно, диагонали четырёхугольника делятся точкой O пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.3) Так как AO = CO и BO = DO, из равенства периметров треугольников AOB и BOC имеем:
AB + AO + BO = BC + CO + BO,
откуда AB = BC.4) Параллелограмм, у которого соседние стороны равны, является ромбом.Ответ: ABCD — ромб.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Из равенства четырёх периметров следует, что AO = CO и BO = DO, поэтому диагонали делятся пополам и ABCD — параллелограмм.Для треугольников AOB и BOC:
AB + AO + BO = BC + CO + BO.
Так как AO = CO, то AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.Ответ: четырёхугольник является ромбом.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти площадь треугольника ABCС пояснением
Обозначим площадь треугольника ABC через S, а общее отношение — через t.Тогда
AM/AC = CK/CB = MP/MK = t/(t + 1),
а
MC/AC = BK/BC = PK/MK = 1/(t + 1).1) Треугольники ACK и ABC имеют общую высоту, поэтому
S_ACK/S = CK/CB = t/(t + 1).Треугольники AMK и ACK, а затем AMP и AMK также имеют общие высоты. Следовательно,
S1 = S · (t/(t + 1))³.2) Аналогично для треугольника BKP:
S2 = S · (1/(t + 1))³.3) Поэтому
∛S1 = ∛S · t/(t + 1),
∛S2 = ∛S · 1/(t + 1).Сложим равенства:
∛S1 + ∛S2 = ∛S.Значит,
S = (∛S1 + ∛S2)³.Ответ: (∛S1 + ∛S2)³.
Кратко Пусть S — площадь треугольника ABC. Из отношений отрезков и отношений площадей треугольников с общей высотой получаем:
S1 = S · (t/(t + 1))³,
S2 = S · (1/(t + 1))³.Тогда
∛S = ∛S1 + ∛S2,
S = (∛S1 + ∛S2)³.Ответ: (∛S1 + ∛S2)³.
AM/AC = CK/CB = MP/MK = t/(t + 1),
а
MC/AC = BK/BC = PK/MK = 1/(t + 1).1) Треугольники ACK и ABC имеют общую высоту, поэтому
S_ACK/S = CK/CB = t/(t + 1).Треугольники AMK и ACK, а затем AMP и AMK также имеют общие высоты. Следовательно,
S1 = S · (t/(t + 1))³.2) Аналогично для треугольника BKP:
S2 = S · (1/(t + 1))³.3) Поэтому
∛S1 = ∛S · t/(t + 1),
∛S2 = ∛S · 1/(t + 1).Сложим равенства:
∛S1 + ∛S2 = ∛S.Значит,
S = (∛S1 + ∛S2)³.Ответ: (∛S1 + ∛S2)³.
Кратко Пусть S — площадь треугольника ABC. Из отношений отрезков и отношений площадей треугольников с общей высотой получаем:
S1 = S · (t/(t + 1))³,
S2 = S · (1/(t + 1))³.Тогда
∛S = ∛S1 + ∛S2,
S = (∛S1 + ∛S2)³.Ответ: (∛S1 + ∛S2)³.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Задание учебника 2023 года
На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки М и К, а на отрезке МК — точка Р так, что AM/MC=CK/KB=MP/PK. Наидите площадь треугольника ABC, если площади треугольников АМР и ВКР равны S1 и S2.
