Упр.830 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Сравнить сумму медиан с периметром треугольникаС пояснением
Пусть стороны треугольника равны a, b, c, соответствующие медианы — mₐ, mᵦ, m𝒸, а периметр P = a + b + c.1) Докажем верхнюю границу. Продлим медиану mₐ на её длину. Получим отрезок длиной 2mₐ. По неравенству треугольника:
2mₐ < b + c, то есть mₐ < (b + c)/2.
Аналогично:
mᵦ < (a + c)/2,
m𝒸 < (a + b)/2.
Сложив неравенства, получим:
mₐ + mᵦ + m𝒸 < a + b + c = P.2) Докажем нижнюю границу. Пусть G — точка пересечения медиан. В треугольнике BGC:
BG + CG > BC.
Так как BG < mᵦ, а CG < m𝒸, то
mᵦ + m𝒸 > a.
Аналогично:
mₐ + m𝒸 > b,
mₐ + mᵦ > c.
Сложим эти неравенства:
2(mₐ + mᵦ + m𝒸) > a + b + c = P.
Следовательно,
mₐ + mᵦ + m𝒸 > P/2.Ответ: P/2 < mₐ + mᵦ + m𝒸 < P.
Кратко Пусть P = a + b + c, а mₐ, mᵦ, m𝒸 — медианы.1) По неравенству треугольника:
2mₐ < b + c, 2mᵦ < a + c, 2m𝒸 < a + b.
Поэтому mₐ + mᵦ + m𝒸 < P.2) Если G — точка пересечения медиан, то из треугольников BGC, AGC и AGB получаем:
mᵦ + m𝒸 > a,
mₐ + m𝒸 > b,
mₐ + mᵦ > c.
Значит, 2(mₐ + mᵦ + m𝒸) > P, то есть mₐ + mᵦ + m𝒸 > P/2.Ответ: P/2 < mₐ + mᵦ + m𝒸 < P.
2mₐ < b + c, то есть mₐ < (b + c)/2.
Аналогично:
mᵦ < (a + c)/2,
m𝒸 < (a + b)/2.
Сложив неравенства, получим:
mₐ + mᵦ + m𝒸 < a + b + c = P.2) Докажем нижнюю границу. Пусть G — точка пересечения медиан. В треугольнике BGC:
BG + CG > BC.
Так как BG < mᵦ, а CG < m𝒸, то
mᵦ + m𝒸 > a.
Аналогично:
mₐ + m𝒸 > b,
mₐ + mᵦ > c.
Сложим эти неравенства:
2(mₐ + mᵦ + m𝒸) > a + b + c = P.
Следовательно,
mₐ + mᵦ + m𝒸 > P/2.Ответ: P/2 < mₐ + mᵦ + m𝒸 < P.
Кратко Пусть P = a + b + c, а mₐ, mᵦ, m𝒸 — медианы.1) По неравенству треугольника:
2mₐ < b + c, 2mᵦ < a + c, 2m𝒸 < a + b.
Поэтому mₐ + mᵦ + m𝒸 < P.2) Если G — точка пересечения медиан, то из треугольников BGC, AGC и AGB получаем:
mᵦ + m𝒸 > a,
mₐ + m𝒸 > b,
mₐ + mᵦ > c.
Значит, 2(mₐ + mᵦ + m𝒸) > P, то есть mₐ + mᵦ + m𝒸 > P/2.Ответ: P/2 < mₐ + mᵦ + m𝒸 < P.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти площадь треугольника CMKС пояснением
Обозначим площадь треугольника ABC через S, а отношения CM : CA и CK : CB — через m и k.1) Треугольники CMK и CAB имеют общий угол C, а их стороны, заключающие этот угол, относятся как m и k. Поэтому
S(CMK) = mkS.2) Сравнивая площади треугольников с общей высотой и учитывая, что O лежит на AK и BM, получаем
mk = S1S3/S2².3) Площадь треугольника ABM равна S1 + S2, поэтому
(1 − m)S = S1 + S2.
Аналогично для треугольника ABK:
(1 − k)S = S2 + S3.Перемножим равенства:
(S − S1 − S2)(S − S2 − S3) = mkS² = S1S3S²/S2².
После раскрытия скобок один корень равен S2, но он не подходит, так как S > S1 + S2. Второй корень:
S = (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3).4) Тогда
S(CMK) = S1S3/S2² · (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3)
= S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
Кратко Пусть S — площадь треугольника ABC. Из отношений площадей треугольников с общими высотами получаем
CM/CA · CK/CB = S1S3/S2².Так как S(ABM) = S1 + S2 и S(ABK) = S2 + S3, то
S = S2(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2² − S1S3).Следовательно,
S(CMK) = S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
S(CMK) = mkS.2) Сравнивая площади треугольников с общей высотой и учитывая, что O лежит на AK и BM, получаем
mk = S1S3/S2².3) Площадь треугольника ABM равна S1 + S2, поэтому
(1 − m)S = S1 + S2.
Аналогично для треугольника ABK:
(1 − k)S = S2 + S3.Перемножим равенства:
(S − S1 − S2)(S − S2 − S3) = mkS² = S1S3S²/S2².
После раскрытия скобок один корень равен S2, но он не подходит, так как S > S1 + S2. Второй корень:
S = (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3).4) Тогда
S(CMK) = S1S3/S2² · (S1 + S2)(S2 + S3)S2/(S2² − S1S3)
= S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
Кратко Пусть S — площадь треугольника ABC. Из отношений площадей треугольников с общими высотами получаем
CM/CA · CK/CB = S1S3/S2².Так как S(ABM) = S1 + S2 и S(ABK) = S2 + S3, то
S = S2(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2² − S1S3).Следовательно,
S(CMK) = S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).Ответ: S1S3(S1 + S2)(S2 + S3)/(S2(S2² − S1S3)).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
Задание учебника 2023 года
На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки М и К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВК равны соответственно S1, S2, S3.
