Упр.829 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти MK, если AE = aС пояснением
Обозначим AC = b, AB = BC = c, BM = h.1) Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BM является медианой:
AM = MC = b/2.2) По теореме о биссектрисе:
BD : DC = AB : AC = c : b.
Треугольники DKC и BMC подобны, поэтому
KC/MC = DC/BC = b/(b + c).
Следовательно,
KC = b²/(2(b + c)),
MK = MC − KC = b/2 − b²/(2(b + c)) = bc/(2(b + c)).3) Из подобия тех же треугольников:
DK/BM = b/(b + c),
поэтому DK = bh/(b + c).
Кроме того,
AK = AM + MK = b(b + 2c)/(2(b + c)).4) Из прямоугольного треугольника ABM:
h² = c² − b²/4.
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ADK:
AD² = AK² + DK² = b²c(b + 2c)/(b + c)².5) Треугольник ADE прямоугольный, а DK — высота, проведённая к гипотенузе AE. По свойству катета:
AD² = AK · AE.
Отсюда
AE = AD²/AK = 2bc/(b + c).Значит,
MK/AE = 1/4,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
Кратко Пусть AC = b, AB = BC = c. По теореме о биссектрисе и подобию треугольников DKC и BMC получаем:
MK = bc/(2(b + c)).Из прямоугольного треугольника ADE и свойства катета, опирающегося на гипотенузу, следует:
AE = 2bc/(b + c) = 4MK.Значит,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
AM = MC = b/2.2) По теореме о биссектрисе:
BD : DC = AB : AC = c : b.
Треугольники DKC и BMC подобны, поэтому
KC/MC = DC/BC = b/(b + c).
Следовательно,
KC = b²/(2(b + c)),
MK = MC − KC = b/2 − b²/(2(b + c)) = bc/(2(b + c)).3) Из подобия тех же треугольников:
DK/BM = b/(b + c),
поэтому DK = bh/(b + c).
Кроме того,
AK = AM + MK = b(b + 2c)/(2(b + c)).4) Из прямоугольного треугольника ABM:
h² = c² − b²/4.
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ADK:
AD² = AK² + DK² = b²c(b + 2c)/(b + c)².5) Треугольник ADE прямоугольный, а DK — высота, проведённая к гипотенузе AE. По свойству катета:
AD² = AK · AE.
Отсюда
AE = AD²/AK = 2bc/(b + c).Значит,
MK/AE = 1/4,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
Кратко Пусть AC = b, AB = BC = c. По теореме о биссектрисе и подобию треугольников DKC и BMC получаем:
MK = bc/(2(b + c)).Из прямоугольного треугольника ADE и свойства катета, опирающегося на гипотенузу, следует:
AE = 2bc/(b + c) = 4MK.Значит,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство площадей и обратное утверждениеС пояснением
Обозначим площадь параллелограмма ABCD через S и введём отношения
x = AP/AB, y = AT/AD.
Так как APMT — параллелограмм, положение точки M определяется этими отношениями.1) У параллелограмма MPBQ сторона PB составляет 1 − x от стороны AB, а его высота составляет y от высоты ABCD. Поэтому
S(MPBQ) = (1 − x)yS.2) У параллелограмма MRDT сторона DT составляет x от стороны AB, а его высота составляет 1 − y от высоты ABCD. Поэтому
S(MRDT) = x(1 − y)S.3) Если M лежит на диагонали AC, то из подобия треугольников, образованных диагональю и прямыми, параллельными сторонам параллелограмма, получаем x = y. Следовательно,
S(MPBQ) = (1 − x)xS,
S(MRDT) = x(1 − x)S.
Значит, их площади равны.4) Обратно, пусть площади равны. Тогда
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
(1 − x)y = x(1 − y),
y − xy = x − xy,
y = x.
Равенство x = y означает, что точка M делит направления сторон AB и AD в одинаковом отношении. По обратному утверждению о подобных треугольниках такая точка лежит на диагонали AC.Ответ: S(MPBQ) = S(MRDT) тогда и только тогда, когда M лежит на диагонали AC.
Кратко Пусть x = AP/AB, y = AT/AD, а S — площадь ABCD. Тогда
S(MPBQ) = (1 − x)yS,
S(MRDT) = x(1 − y)S.Если M ∈ AC, то x = y, поэтому обе площади равны x(1 − x)S.Обратно, из равенства площадей получаем
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
откуда y = x. Следовательно, M лежит на диагонали AC.Ответ: площади MPBQ и MRDT равны тогда и только тогда, когда M ∈ AC.
x = AP/AB, y = AT/AD.
Так как APMT — параллелограмм, положение точки M определяется этими отношениями.1) У параллелограмма MPBQ сторона PB составляет 1 − x от стороны AB, а его высота составляет y от высоты ABCD. Поэтому
S(MPBQ) = (1 − x)yS.2) У параллелограмма MRDT сторона DT составляет x от стороны AB, а его высота составляет 1 − y от высоты ABCD. Поэтому
S(MRDT) = x(1 − y)S.3) Если M лежит на диагонали AC, то из подобия треугольников, образованных диагональю и прямыми, параллельными сторонам параллелограмма, получаем x = y. Следовательно,
S(MPBQ) = (1 − x)xS,
S(MRDT) = x(1 − x)S.
Значит, их площади равны.4) Обратно, пусть площади равны. Тогда
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
(1 − x)y = x(1 − y),
y − xy = x − xy,
y = x.
Равенство x = y означает, что точка M делит направления сторон AB и AD в одинаковом отношении. По обратному утверждению о подобных треугольниках такая точка лежит на диагонали AC.Ответ: S(MPBQ) = S(MRDT) тогда и только тогда, когда M лежит на диагонали AC.
Кратко Пусть x = AP/AB, y = AT/AD, а S — площадь ABCD. Тогда
S(MPBQ) = (1 − x)yS,
S(MRDT) = x(1 − y)S.Если M ∈ AC, то x = y, поэтому обе площади равны x(1 − x)S.Обратно, из равенства площадей получаем
(1 − x)yS = x(1 − y)S,
откуда y = x. Следовательно, M лежит на диагонали AC.Ответ: площади MPBQ и MRDT равны тогда и только тогда, когда M ∈ AC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.
Задание учебника 2023 года
Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.
