Упр.824 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство разностей противоположных сторонС пояснением
Обозначим длины сторон A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, A₄A₅, A₅A₆, A₆A₁ соответственно через a, b, c, d, e, f.1) Сумма углов шестиугольника равна 720°, поэтому каждый его угол равен 720° : 6 = 120°. Значит, при переходе от одной стороны к следующей направление поворачивается на 60°.2) Спроецируем замкнутую ломаную A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₁ на прямую A₁A₂. Сумма направленных проекций равна нулю. Учитывая, что проекция отрезка, образующего угол 60°, равна половине его длины, получаем:
a + b/2 − c/2 − d − e/2 + f/2 = 0,
то есть
2(a − d) + (b − e) − (c − f) = 0. (1)3) Аналогично спроецируем ломаную на прямую A₂A₃:
a/2 + b + c/2 − d/2 − e − f/2 = 0,
то есть
(a − d) + 2(b − e) + (c − f) = 0. (2)4) Сложив равенства (1) и (2), получим:
3(a − d) + 3(b − e) = 0,
откуда a − d = e − b.Подставив b − e = −(a − d) в (1), получим c − f = a − d.Следовательно,
a − d = e − b = c − f.Ответ: A₁A₂ − A₄A₅ = A₅A₆ − A₂A₃ = A₃A₄ − A₆A₁, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть A₁A₂ = a, A₂A₃ = b, A₃A₄ = c, A₄A₅ = d, A₅A₆ = e, A₆A₁ = f. Все углы шестиугольника равны 120°, поэтому направления соседних сторон отличаются на 60°.Проецируя его стороны на прямые A₁A₂ и A₂A₃, получаем:
2(a − d) + (b − e) − (c − f) = 0,
(a − d) + 2(b − e) + (c − f) = 0.Из этих равенств следует:
a − d = e − b = c − f.Ответ: A₁A₂ − A₄A₅ = A₅A₆ − A₂A₃ = A₃A₄ − A₆A₁.
a + b/2 − c/2 − d − e/2 + f/2 = 0,
то есть
2(a − d) + (b − e) − (c − f) = 0. (1)3) Аналогично спроецируем ломаную на прямую A₂A₃:
a/2 + b + c/2 − d/2 − e − f/2 = 0,
то есть
(a − d) + 2(b − e) + (c − f) = 0. (2)4) Сложив равенства (1) и (2), получим:
3(a − d) + 3(b − e) = 0,
откуда a − d = e − b.Подставив b − e = −(a − d) в (1), получим c − f = a − d.Следовательно,
a − d = e − b = c − f.Ответ: A₁A₂ − A₄A₅ = A₅A₆ − A₂A₃ = A₃A₄ − A₆A₁, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть A₁A₂ = a, A₂A₃ = b, A₃A₄ = c, A₄A₅ = d, A₅A₆ = e, A₆A₁ = f. Все углы шестиугольника равны 120°, поэтому направления соседних сторон отличаются на 60°.Проецируя его стороны на прямые A₁A₂ и A₂A₃, получаем:
2(a − d) + (b − e) − (c − f) = 0,
(a − d) + 2(b − e) + (c − f) = 0.Из этих равенств следует:
a − d = e − b = c − f.Ответ: A₁A₂ − A₄A₅ = A₅A₆ − A₂A₃ = A₃A₄ − A₆A₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найдите сумму углов BAE, CAE и DAEС пояснением
Пусть сторона каждого квадрата равна a. Построим точку K под точкой E так, чтобы EK = a и EK ⟂ AE.1) Отрезки AC и CK являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами a и 2a, поэтому AC = CK.2) Эти прямоугольные треугольники подобны, поэтому AC ⟂ CK. Значит, треугольник ACK — прямоугольный равнобедренный, откуда ∠CAK = 45°.3) Луч AE проходит внутри угла CAK, причём ∠EAK = ∠DAE, так как прямоугольные треугольники AED и AEK равны по двум катетам. Поэтому
∠CAE + ∠DAE = ∠CAK = 45°.4) AB — диагональ первого квадрата, следовательно, ∠BAE = 45°.5) ∠BAE + ∠CAE + ∠DAE = 45° + 45° = 90°.Ответ: 90°.
Кратко Построим под точкой E точку K так, чтобы EK равнялся стороне квадрата. Тогда треугольник ACK — прямоугольный равнобедренный, поэтому
∠CAE + ∠DAE = ∠CAK = 45°.AB — диагональ квадрата, значит, ∠BAE = 45°.45° + 45° = 90°.Ответ: 90°.
∠CAE + ∠DAE = ∠CAK = 45°.4) AB — диагональ первого квадрата, следовательно, ∠BAE = 45°.5) ∠BAE + ∠CAE + ∠DAE = 45° + 45° = 90°.Ответ: 90°.
Кратко Построим под точкой E точку K так, чтобы EK равнялся стороне квадрата. Тогда треугольник ACK — прямоугольный равнобедренный, поэтому
∠CAE + ∠DAE = ∠CAK = 45°.AB — диагональ квадрата, значит, ∠BAE = 45°.45° + 45° = 90°.Ответ: 90°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Дан выпуклый шестиугольник А1А2А3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что А1А2 — А4А5 = А5А6 — А2А3 = А3А4 — А6А1.
Задание учебника 2023 года
На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму угол BAE+угол CAE+угол DAE.
