Упр.823 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что высоты содержат биссектрисыС пояснением
1) Так как BB₁ ⟂ AC и CC₁ ⟂ AB, то
∠B₁BA = 90° − ∠A,
∠ACC₁ = 90° − ∠A.
Эти равные вписанные углы стягивают хорды B₁A и AC₁, поэтому B₁A = AC₁. Следовательно,
∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁.
Значит, A₁A — биссектриса угла B₁A₁C₁.2) Аналогично, поскольку AA₁ ⟂ BC и CC₁ ⟂ AB,
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B.
Отсюда A₁B = BC₁, поэтому
∠A₁B₁B = ∠BB₁C₁.
Значит, B₁B — биссектриса угла A₁B₁C₁.3) Так как AA₁ ⟂ BC и BB₁ ⟂ AC,
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C.
Следовательно, A₁C = CB₁, поэтому
∠A₁C₁C = ∠CC₁B₁.
Значит, C₁C — биссектриса угла A₁C₁B₁.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
Кратко ∠B₁BA = ∠ACC₁ = 90° − ∠A, поэтому равны хорды B₁A и AC₁. Значит, ∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁ и A₁A — биссектриса.Аналогично:
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B ⇒ A₁B = BC₁ ⇒ B₁B — биссектриса;
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C ⇒ A₁C = CB₁ ⇒ C₁C — биссектриса.Ответ: AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
∠B₁BA = 90° − ∠A,
∠ACC₁ = 90° − ∠A.
Эти равные вписанные углы стягивают хорды B₁A и AC₁, поэтому B₁A = AC₁. Следовательно,
∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁.
Значит, A₁A — биссектриса угла B₁A₁C₁.2) Аналогично, поскольку AA₁ ⟂ BC и CC₁ ⟂ AB,
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B.
Отсюда A₁B = BC₁, поэтому
∠A₁B₁B = ∠BB₁C₁.
Значит, B₁B — биссектриса угла A₁B₁C₁.3) Так как AA₁ ⟂ BC и BB₁ ⟂ AC,
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C.
Следовательно, A₁C = CB₁, поэтому
∠A₁C₁C = ∠CC₁B₁.
Значит, C₁C — биссектриса угла A₁C₁B₁.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
Кратко ∠B₁BA = ∠ACC₁ = 90° − ∠A, поэтому равны хорды B₁A и AC₁. Значит, ∠B₁A₁A = ∠AA₁C₁ и A₁A — биссектриса.Аналогично:
∠A₁AB = ∠BCC₁ = 90° − ∠B ⇒ A₁B = BC₁ ⇒ B₁B — биссектриса;
∠A₁AC = ∠CBB₁ = 90° − ∠C ⇒ A₁C = CB₁ ⇒ C₁C — биссектриса.Ответ: AA₁, BB₁ и CC₁ содержат биссектрисы треугольника A₁B₁C₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что AM = BK + DMС пояснением
Обозначим сторону квадрата через a, DM = x, BK = y, AM = l. Введём координаты: D(0; 0), C(a; 0), B(a; a), A(0; a). Тогда M(x; 0), K(a; a − y).1) Поскольку AK — биссектриса угла BAM, точка K равноудалена от сторон AB и AM. Расстояние от K до AB равно BK = y.2) Прямая AM имеет уравнение aX + xY − ax = 0. Поэтому расстояние от K до AM равно
(a² − xy)/√(a² + x²).
По теореме Пифагора √(a² + x²) = AM = l. Следовательно,
(a² − xy)/l = y,
a² = y(l + x).3) В прямоугольном треугольнике ADM:
l² = a² + x²,
поэтому
a² = l² − x² = (l − x)(l + x).Значит,
y(l + x) = (l − x)(l + x).
Так как l + x ≠ 0, получаем y = l − x, то есть
BK = AM − DM.
Следовательно, AM = BK + DM.Ответ: AM = BK + DM, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть DM = x, BK = y, AM = l, а сторона квадрата равна a. Зададим координаты: D(0; 0), A(0; a), B(a; a), M(x; 0), K(a; a − y).Так как AK — биссектриса, расстояния от K до прямых AB и AM равны. Прямая AM задаётся уравнением aX + xY − ax = 0, поэтому
(a² − xy)/l = y,
откуда a² = y(l + x).По теореме Пифагора l² = a² + x², значит
а² = (l − x)(l + x).
Следовательно, y = l − x, то есть BK = AM − DM.Ответ: AM = BK + DM.
(a² − xy)/√(a² + x²).
По теореме Пифагора √(a² + x²) = AM = l. Следовательно,
(a² − xy)/l = y,
a² = y(l + x).3) В прямоугольном треугольнике ADM:
l² = a² + x²,
поэтому
a² = l² − x² = (l − x)(l + x).Значит,
y(l + x) = (l − x)(l + x).
Так как l + x ≠ 0, получаем y = l − x, то есть
BK = AM − DM.
Следовательно, AM = BK + DM.Ответ: AM = BK + DM, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть DM = x, BK = y, AM = l, а сторона квадрата равна a. Зададим координаты: D(0; 0), A(0; a), B(a; a), M(x; 0), K(a; a − y).Так как AK — биссектриса, расстояния от K до прямых AB и AM равны. Прямая AM задаётся уравнением aX + xY − ax = 0, поэтому
(a² − xy)/l = y,
откуда a² = y(l + x).По теореме Пифагора l² = a² + x², значит
а² = (l − x)(l + x).
Следовательно, y = l − x, то есть BK = AM − DM.Ответ: AM = BK + DM.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Прямые AA_1, BB_1 и CC_1, содержащие высоты остроугольного треугольника АВС, пересекают описанную окружность в точках A_1, B_1, C_1. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы треугольника A_1B_1C_1.
Задание учебника 2023 года
На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что AM = ВК + DM.
