Упр.818 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить три окружности относительно прямой aС пояснением
1) Проведём из точки O перпендикуляр OH к прямой a. Отрезок OH — расстояние от точки O до прямой a.
2) Для случая а выберем радиус r < OH. Такая окружность не имеет с прямой a общих точек.
3) Для случая б выберем радиус r > OH. Такая окружность пересекает прямую a в двух точках.
4) Для случая в построим окружность радиуса r = OH. Она касается прямой a в точке H.
Ответ: а) r < OH; б) r > OH; в) r = OH.
Кратко Проведите OH ⟂ a, где H ∈ a.
а) Постройте окружность радиуса r < OH — общих точек нет.
б) Постройте окружность радиуса r > OH — две общие точки.
в) Постройте окружность радиуса r = OH — касание в точке H.
Ответ: а) r < OH; б) r > OH; в) r = OH.
2) Для случая а выберем радиус r < OH. Такая окружность не имеет с прямой a общих точек.
3) Для случая б выберем радиус r > OH. Такая окружность пересекает прямую a в двух точках.
4) Для случая в построим окружность радиуса r = OH. Она касается прямой a в точке H.
Ответ: а) r < OH; б) r > OH; в) r = OH.
Кратко Проведите OH ⟂ a, где H ∈ a.
а) Постройте окружность радиуса r < OH — общих точек нет.
б) Постройте окружность радиуса r > OH — две общие точки.
в) Постройте окружность радиуса r = OH — касание в точке H.
Ответ: а) r < OH; б) r > OH; в) r = OH.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что четырёхугольник является ромбомС пояснением
Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O.1) Используем следующую лемму: если точка O лежит внутри выпуклого четырёхугольника и
AB + AO + BO = BC + BO + CO = CD + CO + DO = DA + DO + AO,
то O — середина обеих диагоналей.Докажем лемму. Из равенства периметров соседних треугольников получаем:
AB − BC = CO − AO,
BC − CD = DO − BO,
CD − DA = AO − CO,
DA − AB = BO − DO.
Если, например, AO > CO, то первое и третье равенства дают BC > AB и CD > DA. Если BO > DO, то второе и четвёртое дают CD > BC и DA > AB. Получается замкнутая цепочка строгих неравенств:
AB < BC < CD < DA < AB,
что невозможно. При BO ≤ DO аналогично получается противоположная замкнутая цепочка. Значит, AO = CO. Так же доказывается, что BO = DO.2) Следовательно, диагонали четырёхугольника делятся точкой O пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.3) Так как AO = CO и BO = DO, из равенства периметров треугольников AOB и BOC имеем:
AB + AO + BO = BC + CO + BO,
откуда AB = BC.4) Параллелограмм, у которого соседние стороны равны, является ромбом.Ответ: ABCD — ромб.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Из равенства четырёх периметров следует, что AO = CO и BO = DO, поэтому диагонали делятся пополам и ABCD — параллелограмм.Для треугольников AOB и BOC:
AB + AO + BO = BC + CO + BO.
Так как AO = CO, то AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.Ответ: четырёхугольник является ромбом.
AB + AO + BO = BC + BO + CO = CD + CO + DO = DA + DO + AO,
то O — середина обеих диагоналей.Докажем лемму. Из равенства периметров соседних треугольников получаем:
AB − BC = CO − AO,
BC − CD = DO − BO,
CD − DA = AO − CO,
DA − AB = BO − DO.
Если, например, AO > CO, то первое и третье равенства дают BC > AB и CD > DA. Если BO > DO, то второе и четвёртое дают CD > BC и DA > AB. Получается замкнутая цепочка строгих неравенств:
AB < BC < CD < DA < AB,
что невозможно. При BO ≤ DO аналогично получается противоположная замкнутая цепочка. Значит, AO = CO. Так же доказывается, что BO = DO.2) Следовательно, диагонали четырёхугольника делятся точкой O пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.3) Так как AO = CO и BO = DO, из равенства периметров треугольников AOB и BOC имеем:
AB + AO + BO = BC + CO + BO,
откуда AB = BC.4) Параллелограмм, у которого соседние стороны равны, является ромбом.Ответ: ABCD — ромб.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей. Из равенства четырёх периметров следует, что AO = CO и BO = DO, поэтому диагонали делятся пополам и ABCD — параллелограмм.Для треугольников AOB и BOC:
AB + AO + BO = BC + CO + BO.
Так как AO = CO, то AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.Ответ: четырёхугольник является ромбом.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
Задание учебника 2023 года
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
