Упр.820 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать перпендикулярность отрезков между точками касанияС пояснением
Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD в точках K, L, M и N соответственно, O — её центр. Нужно доказать, что KM ⟂ LN.1) Угол B образован двумя касательными BK и BL, поэтому
∠B = 180° − ∠KOL.
Аналогично
∠D = 180° − ∠MON.2) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°:
∠B + ∠D = 180°.
Следовательно,
(180° − ∠KOL) + (180° − ∠MON) = 180°,
откуда
∠KOL + ∠MON = 180°.
Значит, сумма дуг KL и MN окружности равна 180°.3) Пусть P — точка пересечения хорд KM и LN. Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 1/2 · 180° = 90°.Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые KM и LN перпендикулярны.
Кратко Пусть K, L, M, N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD, DA, а O — её центр.Так как углы B и D образованы касательными,
∠B = 180° − ∠KOL, ∠D = 180° − ∠MON.
Но ABCD — вписанный четырёхугольник, поэтому ∠B + ∠D = 180°. Значит,
∠KOL + ∠MON = 180°.Если P = KM ∩ LN, то
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 90°.
Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые, соединяющие противоположные точки касания, перпендикулярны.
∠B = 180° − ∠KOL.
Аналогично
∠D = 180° − ∠MON.2) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°:
∠B + ∠D = 180°.
Следовательно,
(180° − ∠KOL) + (180° − ∠MON) = 180°,
откуда
∠KOL + ∠MON = 180°.
Значит, сумма дуг KL и MN окружности равна 180°.3) Пусть P — точка пересечения хорд KM и LN. Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 1/2 · 180° = 90°.Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые KM и LN перпендикулярны.
Кратко Пусть K, L, M, N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD, DA, а O — её центр.Так как углы B и D образованы касательными,
∠B = 180° − ∠KOL, ∠D = 180° − ∠MON.
Но ABCD — вписанный четырёхугольник, поэтому ∠B + ∠D = 180°. Значит,
∠KOL + ∠MON = 180°.Если P = KM ∩ LN, то
∠KPL = 1/2(⌒KL + ⌒MN) = 90°.
Следовательно, KM ⟂ LN.Ответ: прямые, соединяющие противоположные точки касания, перпендикулярны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать признак и обратный признак равнобедренной трапецииС пояснением
Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD ∥ BC, AB = CD. Точки M и N — середины оснований AD и BC соответственно.1) Рассмотрим треугольники ABM и DCM. В них AB = CD, AM = DM, ∠BAM = ∠CDM как углы при основании равнобедренной трапеции. Поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.2) Следовательно, BM = CM. Значит, точка M равноудалена от концов отрезка BC, а точка N — его середина. Поэтому MN — серединный перпендикуляр к BC, то есть MN ⟂ BC. Так как AD ∥ BC, то MN ⟂ AD.Обратное утверждение: если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.3) Пусть M и N — середины оснований AD и BC трапеции ABCD и MN ⟂ AD. Тогда MN ⟂ BC, поскольку AD ∥ BC.4) Прямоугольные треугольники MNB и MNC равны по двум катетам: MN — общий, BN = CN. Поэтому MB = MC и ∠BMN = ∠CMN.5) Так как MN ⟂ AD, то ∠AMB и ∠DMC являются дополнениями равных углов ∠BMN и ∠CMN до 90°. Следовательно, ∠AMB = ∠DMC.6) В треугольниках AMB и DMC имеем AM = DM, MB = MC и ∠AMB = ∠DMC. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = CD. Следовательно, трапеция равнобедренная.Ответ: прямое и обратное утверждения доказаны.
Кратко Пусть AD ∥ BC, AB = CD, а M и N — середины оснований AD и BC.Треугольники ABM и DCM равны: AB = CD, AM = DM и ∠BAM = ∠CDM. Поэтому BM = CM. Значит, MN — серединный перпендикуляр к BC, откуда MN ⟂ BC и MN ⟂ AD.Обратное утверждение: если прямая, соединяющая середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.Действительно, из MN ⟂ AD и AD ∥ BC следует MN ⟂ BC. Равные прямоугольные треугольники MNB и MNC дают MB = MC и равенство соответствующих углов. Тогда треугольники AMB и DMC равны, поэтому AB = CD.Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко Пусть AD ∥ BC, AB = CD, а M и N — середины оснований AD и BC.Треугольники ABM и DCM равны: AB = CD, AM = DM и ∠BAM = ∠CDM. Поэтому BM = CM. Значит, MN — серединный перпендикуляр к BC, откуда MN ⟂ BC и MN ⟂ AD.Обратное утверждение: если прямая, соединяющая середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.Действительно, из MN ⟂ AD и AD ∥ BC следует MN ⟂ BC. Равные прямоугольные треугольники MNB и MNC дают MB = MC и равенство соответствующих углов. Тогда треугольники AMB и DMC равны, поэтому AB = CD.Ответ: оба утверждения доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вписанной окружности с его противоположными сторонами, перпендикулярны.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
