Упр.816 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти радиус вписанной окружности трапецииС пояснением
Пусть боковая сторона трапеции равна c, а её высота — h.1) Трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобедренной.2) В четырёхугольнике с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны:
a + b = 2c,
откуда c = (a + b)/2.3) Опустим высоты от концов меньшего основания. Тогда проекция каждой боковой стороны на большее основание равна |a − b|/2. По теореме Пифагора:
h² = c² − ((a − b)/2)² = ((a + b)/2)² − ((a − b)/2)² = ab.
Значит, h = √(ab).4) Вписанная окружность касается обоих оснований, поэтому расстояние между ними равно её диаметру: h = 2r. Следовательно,
r = √(ab)/2.Ответ: √(ab)/2.
Кратко 1) Боковая сторона равнобедренной трапеции: c = (a + b)/2.
2) Высота: h = √(c² − ((a − b)/2)²) = √(ab).
3) Так как h = 2r, то r = √(ab)/2.
Ответ: √(ab)/2.
a + b = 2c,
откуда c = (a + b)/2.3) Опустим высоты от концов меньшего основания. Тогда проекция каждой боковой стороны на большее основание равна |a − b|/2. По теореме Пифагора:
h² = c² − ((a − b)/2)² = ((a + b)/2)² − ((a − b)/2)² = ab.
Значит, h = √(ab).4) Вписанная окружность касается обоих оснований, поэтому расстояние между ними равно её диаметру: h = 2r. Следовательно,
r = √(ab)/2.Ответ: √(ab)/2.
Кратко 1) Боковая сторона равнобедренной трапеции: c = (a + b)/2.
2) Высота: h = √(c² − ((a − b)/2)²) = √(ab).
3) Так как h = 2r, то r = √(ab)/2.
Ответ: √(ab)/2.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти MK, если AE = aС пояснением
Обозначим AC = b, AB = BC = c, BM = h.1) Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BM является медианой:
AM = MC = b/2.2) По теореме о биссектрисе:
BD : DC = AB : AC = c : b.
Треугольники DKC и BMC подобны, поэтому
KC/MC = DC/BC = b/(b + c).
Следовательно,
KC = b²/(2(b + c)),
MK = MC − KC = b/2 − b²/(2(b + c)) = bc/(2(b + c)).3) Из подобия тех же треугольников:
DK/BM = b/(b + c),
поэтому DK = bh/(b + c).
Кроме того,
AK = AM + MK = b(b + 2c)/(2(b + c)).4) Из прямоугольного треугольника ABM:
h² = c² − b²/4.
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ADK:
AD² = AK² + DK² = b²c(b + 2c)/(b + c)².5) Треугольник ADE прямоугольный, а DK — высота, проведённая к гипотенузе AE. По свойству катета:
AD² = AK · AE.
Отсюда
AE = AD²/AK = 2bc/(b + c).Значит,
MK/AE = 1/4,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
Кратко Пусть AC = b, AB = BC = c. По теореме о биссектрисе и подобию треугольников DKC и BMC получаем:
MK = bc/(2(b + c)).Из прямоугольного треугольника ADE и свойства катета, опирающегося на гипотенузу, следует:
AE = 2bc/(b + c) = 4MK.Значит,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
AM = MC = b/2.2) По теореме о биссектрисе:
BD : DC = AB : AC = c : b.
Треугольники DKC и BMC подобны, поэтому
KC/MC = DC/BC = b/(b + c).
Следовательно,
KC = b²/(2(b + c)),
MK = MC − KC = b/2 − b²/(2(b + c)) = bc/(2(b + c)).3) Из подобия тех же треугольников:
DK/BM = b/(b + c),
поэтому DK = bh/(b + c).
Кроме того,
AK = AM + MK = b(b + 2c)/(2(b + c)).4) Из прямоугольного треугольника ABM:
h² = c² − b²/4.
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ADK:
AD² = AK² + DK² = b²c(b + 2c)/(b + c)².5) Треугольник ADE прямоугольный, а DK — высота, проведённая к гипотенузе AE. По свойству катета:
AD² = AK · AE.
Отсюда
AE = AD²/AK = 2bc/(b + c).Значит,
MK/AE = 1/4,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
Кратко Пусть AC = b, AB = BC = c. По теореме о биссектрисе и подобию треугольников DKC и BMC получаем:
MK = bc/(2(b + c)).Из прямоугольного треугольника ADE и свойства катета, опирающегося на гипотенузу, следует:
AE = 2bc/(b + c) = 4MK.Значит,
MK = AE/4 = a/4.Ответ: a/4.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
Задание учебника 2023 года
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.
