Упр.812 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что четырёхугольник из биссектрис вписанныйС пояснением
Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC. Обозначим через P, Q, R, S последовательные точки пересечения биссектрис углов A и B, B и C, C и D, D и A.1) Углы A и B, прилежащие к боковой стороне AB, являются односторонними, поэтому ∠A + ∠B = 180°.2) Угол между их биссектрисами равен половине суммы этих углов:
∠SPQ = 180° : 2 = 90°.3) Аналогично ∠C + ∠D = 180°, поэтому угол между биссектрисами этих углов равен:
∠QRS = 180° : 2 = 90°.4) Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника PQRS равна 180°. Следовательно, около него можно описать окружность.Ответ: четырёхугольник PQRS является вписанным.
Кратко Пусть P и R — точки пересечения биссектрис углов A, B и C, D трапеции ABCD, где AD ∥ BC. Так как ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°, то ∠P = ∠R = 90°. Сумма противоположных углов полученного четырёхугольника равна 180°, поэтому около него можно описать окружность.Ответ: четырёхугольник, образованный биссектрисами, является вписанным.
∠SPQ = 180° : 2 = 90°.3) Аналогично ∠C + ∠D = 180°, поэтому угол между биссектрисами этих углов равен:
∠QRS = 180° : 2 = 90°.4) Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника PQRS равна 180°. Следовательно, около него можно описать окружность.Ответ: четырёхугольник PQRS является вписанным.
Кратко Пусть P и R — точки пересечения биссектрис углов A, B и C, D трапеции ABCD, где AD ∥ BC. Так как ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°, то ∠P = ∠R = 90°. Сумма противоположных углов полученного четырёхугольника равна 180°, поэтому около него можно описать окружность.Ответ: четырёхугольник, образованный биссектрисами, является вписанным.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать существование равноугольного шестиугольникаС пояснением
1) Выберем три единичных направленных отрезка u, v, w, образующих направления 0°, 60° и 120°. Так как u и w — стороны ромба с углом 120°, его диагональ равна стороне и направлена под углом 60°, поэтому u + w = v.2) Построим последовательно отрезки A₁A₂, A₂A₃, …, A₆A₁ длиной a₁, a₂, …, a₆, каждый раз поворачивая направление на 60°. Суммарное перемещение равно
(a₁ − a₄)u + (a₂ − a₅)v + (a₃ − a₆)w.3) Обозначим a₁ − a₄ = a₅ − a₂ = a₃ − a₆ = d. Тогда a₂ − a₅ = −d, поэтому суммарное перемещение равно
du − dv + dw = d(u − v + w) = 0,
так как u + w = v. Значит, конец последнего отрезка совпадает с точкой A₁, то есть шестиугольник замкнулся.4) Все стороны имеют положительную длину, а направление каждой следующей стороны поворачивается на 60° в одну сторону. Поэтому полученный шестиугольник выпуклый. Каждый его внутренний угол равен
180° − 60° = 120°.Ответ: требуемый выпуклый шестиугольник существует; все его углы равны 120°.
Кратко Построим стороны длин a₁, a₂, …, a₆, каждый раз поворачивая направление на 60°. Для единичных направлений u, v, w под углами 0°, 60°, 120° имеем u + w = v.Пусть d = a₁ − a₄ = a₅ − a₂ = a₃ − a₆. Тогда суммарное перемещение равно
(a₁ − a₄)u + (a₂ − a₅)v + (a₃ − a₆)w = d(u − v + w) = 0.
Значит, шестиугольник замыкается. Все повороты равны 60°, поэтому он выпуклый, а каждый внутренний угол равен 120°.Ответ: такой выпуклый шестиугольник существует.
(a₁ − a₄)u + (a₂ − a₅)v + (a₃ − a₆)w.3) Обозначим a₁ − a₄ = a₅ − a₂ = a₃ − a₆ = d. Тогда a₂ − a₅ = −d, поэтому суммарное перемещение равно
du − dv + dw = d(u − v + w) = 0,
так как u + w = v. Значит, конец последнего отрезка совпадает с точкой A₁, то есть шестиугольник замкнулся.4) Все стороны имеют положительную длину, а направление каждой следующей стороны поворачивается на 60° в одну сторону. Поэтому полученный шестиугольник выпуклый. Каждый его внутренний угол равен
180° − 60° = 120°.Ответ: требуемый выпуклый шестиугольник существует; все его углы равны 120°.
Кратко Построим стороны длин a₁, a₂, …, a₆, каждый раз поворачивая направление на 60°. Для единичных направлений u, v, w под углами 0°, 60°, 120° имеем u + w = v.Пусть d = a₁ − a₄ = a₅ − a₂ = a₃ − a₆. Тогда суммарное перемещение равно
(a₁ − a₄)u + (a₂ − a₅)v + (a₃ − a₆)w = d(u − v + w) = 0.
Значит, шестиугольник замыкается. Все повороты равны 60°, поэтому он выпуклый, а каждый внутренний угол равен 120°.Ответ: такой выпуклый шестиугольник существует.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
Задание учебника 2023 года
Положительные числа а1, а2, а3, а4, а5 и а6 удовлетворяют условиям а1-а4 = а5 - а2 = a3-a6. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны, причём А1А2 = а1, А2А3 = а2, А3А4= а3, А4А5 = а4, A5A6 =a5 и А6А1 = а6.
