Упр.815 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что параллелограмм является квадратомС пояснением
Пусть ABCD — данный параллелограмм.1) Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны:
AB + CD = BC + AD.
Так как ABCD — параллелограмм, AB = CD и BC = AD. Поэтому 2AB = 2BC, откуда AB = BC. Значит, все стороны параллелограмма равны, то есть он является ромбом.2) Если около параллелограмма можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°. Но противоположные углы параллелограмма равны. Следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, параллелограмм является прямоугольником.3) Данный параллелограмм одновременно является ромбом и прямоугольником, поэтому он — квадрат.Ответ: параллелограмм является квадратом.
Кратко Вписанная окружность даёт AB + CD = BC + AD. Так как AB = CD и BC = AD, получаем AB = BC, поэтому параллелограмм — ромб.У вписанного в окружность параллелограмма противоположные углы равны и в сумме составляют 180°, значит, каждый из них равен 90°. Поэтому он также является прямоугольником.Ромб с прямыми углами — квадрат.Ответ: данный параллелограмм — квадрат.
AB + CD = BC + AD.
Так как ABCD — параллелограмм, AB = CD и BC = AD. Поэтому 2AB = 2BC, откуда AB = BC. Значит, все стороны параллелограмма равны, то есть он является ромбом.2) Если около параллелограмма можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°. Но противоположные углы параллелограмма равны. Следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, параллелограмм является прямоугольником.3) Данный параллелограмм одновременно является ромбом и прямоугольником, поэтому он — квадрат.Ответ: параллелограмм является квадратом.
Кратко Вписанная окружность даёт AB + CD = BC + AD. Так как AB = CD и BC = AD, получаем AB = BC, поэтому параллелограмм — ромб.У вписанного в окружность параллелограмма противоположные углы равны и в сумме составляют 180°, значит, каждый из них равен 90°. Поэтому он также является прямоугольником.Ромб с прямыми углами — квадрат.Ответ: данный параллелограмм — квадрат.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Докажите расположение противоположных вершин четырёхугольникаС пояснением
Пусть дан четырёхугольник ABCD. Проведём диагонали AC и BD.1) Если четырёхугольник выпуклый, диагональ AC делит его на треугольники ABC и ACD, лежащие по разные стороны от прямой AC. Поэтому противоположные вершины B и D лежат по разные стороны от AC.2) Если четырёхугольник невыпуклый, то одна из его диагоналей делит его на два треугольника с непересекающимися внутренними областями. Третьи вершины этих треугольников должны лежать по разные стороны от прямой, содержащей эту диагональ. Иначе треугольники наложились бы друг на друга около диагонали.Значит, в любом четырёхугольнике найдётся диагональ, прямая которой разделяет две другие, то есть противоположные, вершины.Ответ: утверждение доказано.
Кратко Проведём диагонали четырёхугольника. Хотя бы одна из них делит четырёхугольник на два треугольника, лежащих по разные стороны от прямой, содержащей эту диагональ. Следовательно, две другие противоположные вершины находятся по разные стороны от этой прямой.Ответ: утверждение доказано.
Кратко Проведём диагонали четырёхугольника. Хотя бы одна из них делит четырёхугольник на два треугольника, лежащих по разные стороны от прямой, содержащей эту диагональ. Следовательно, две другие противоположные вершины находятся по разные стороны от этой прямой.Ответ: утверждение доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
