Упр.822 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что биссектрисы содержат высотыС пояснением
Обозначим ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ. Тогда α + β + γ = 180°.1) Так как AA₁ — биссектриса, точка A₁ является серединой дуги BC, не содержащей A. Поэтому дуги BA₁ и A₁C равны α. Аналогично B₁ — середина дуги AC, а C₁ — середина дуги AB.2) Пусть AA₁ пересекает B₁C₁ в точке P. Угол между двумя пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, заключённых между сторонами этого угла и вертикального ему угла:
∠APB₁ = 1/2(⌒AB₁ + ⌒A₁C₁).
При этом ⌒AB₁ = β, а ⌒A₁C₁ = ⌒A₁B + ⌒BC₁ = α + γ. Следовательно,
∠APB₁ = 1/2(α + β + γ) = 90°.
Значит, AA₁ ⟂ B₁C₁, то есть прямая AA₁ содержит высоту треугольника A₁B₁C₁, проведённую из A₁.3) Аналогично получаем BB₁ ⟂ A₁C₁ и CC₁ ⟂ A₁B₁. Следовательно, прямые BB₁ и CC₁ также содержат высоты треугольника A₁B₁C₁.Ответ: AA₁, BB₁ и CC₁ содержат высоты треугольника A₁B₁C₁.
Кратко Пусть ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ. Точки A₁, B₁, C₁ — середины дуг BC, AC, AB соответственно.Если P = AA₁ ∩ B₁C₁, то
∠APB₁ = 1/2(⌒AB₁ + ⌒A₁C₁)
= 1/2(β + α + γ) = 90°.
Значит, AA₁ ⟂ B₁C₁. Аналогично BB₁ ⟂ A₁C₁ и CC₁ ⟂ A₁B₁.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ содержат высоты треугольника A₁B₁C₁.
∠APB₁ = 1/2(⌒AB₁ + ⌒A₁C₁).
При этом ⌒AB₁ = β, а ⌒A₁C₁ = ⌒A₁B + ⌒BC₁ = α + γ. Следовательно,
∠APB₁ = 1/2(α + β + γ) = 90°.
Значит, AA₁ ⟂ B₁C₁, то есть прямая AA₁ содержит высоту треугольника A₁B₁C₁, проведённую из A₁.3) Аналогично получаем BB₁ ⟂ A₁C₁ и CC₁ ⟂ A₁B₁. Следовательно, прямые BB₁ и CC₁ также содержат высоты треугольника A₁B₁C₁.Ответ: AA₁, BB₁ и CC₁ содержат высоты треугольника A₁B₁C₁.
Кратко Пусть ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ. Точки A₁, B₁, C₁ — середины дуг BC, AC, AB соответственно.Если P = AA₁ ∩ B₁C₁, то
∠APB₁ = 1/2(⌒AB₁ + ⌒A₁C₁)
= 1/2(β + α + γ) = 90°.
Значит, AA₁ ⟂ B₁C₁. Аналогично BB₁ ⟂ A₁C₁ и CC₁ ⟂ A₁B₁.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ содержат высоты треугольника A₁B₁C₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что центры квадратов образуют квадратС пояснением
Пусть ABCD — данный параллелограмм, а P, Q, R, S — центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA.1) При повороте на 180° около точки пересечения диагоналей параллелограмма сторона AB переходит в CD, а сторона BC — в DA. Поэтому P переходит в R, а Q — в S. Значит, диагонали PR и QS четырёхугольника PQRS делятся пополам. Следовательно, PQRS — параллелограмм.2) Обозначим через поворот на 90° переход от стороны квадрата к направлению от середины этой стороны к его центру. Так как квадраты построены вне параллелограмма, получаем
PR = AD + повёрнутый на 90° отрезок AB,
QS = повёрнутый на 90° отрезок AD − AB.
Следовательно, отрезок QS получается из PR поворотом на 90°. Поэтому PR = QS и PR ⟂ QS.3) Итак, PQRS — параллелограмм с равными перпендикулярными диагоналями. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, а с перпендикулярными диагоналями — ромбом. Значит, PQRS — квадрат.Ответ: точки P, Q, R, S являются вершинами квадрата.
Кратко Пусть P, Q, R, S — центры квадратов на сторонах AB, BC, CD, DA.Поворот на 180° около центра параллелограмма переводит P в R, а Q в S. Поэтому диагонали PR и QS делятся пополам и PQRS — параллелограмм.Из расположения центров внешних квадратов следует, что QS получается из PR поворотом на 90°. Значит, PR = QS и PR ⟂ QS. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, а с перпендикулярными — ромб. Следовательно, PQRS — квадрат.Ответ: центры построенных квадратов являются вершинами квадрата.
PR = AD + повёрнутый на 90° отрезок AB,
QS = повёрнутый на 90° отрезок AD − AB.
Следовательно, отрезок QS получается из PR поворотом на 90°. Поэтому PR = QS и PR ⟂ QS.3) Итак, PQRS — параллелограмм с равными перпендикулярными диагоналями. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, а с перпендикулярными диагоналями — ромбом. Значит, PQRS — квадрат.Ответ: точки P, Q, R, S являются вершинами квадрата.
Кратко Пусть P, Q, R, S — центры квадратов на сторонах AB, BC, CD, DA.Поворот на 180° около центра параллелограмма переводит P в R, а Q в S. Поэтому диагонали PR и QS делятся пополам и PQRS — параллелограмм.Из расположения центров внешних квадратов следует, что QS получается из PR поворотом на 90°. Значит, PR = QS и PR ⟂ QS. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, а с перпендикулярными — ромб. Следовательно, PQRS — квадрат.Ответ: центры построенных квадратов являются вершинами квадрата.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Около треугольника АВС описана окружность. Биссектрисы его углов А, В и С пересекают эту окружность в точках A_1, B_1 и C_1. Докажите, что прямые AA_1, BB_1 и CC_1 содержат высоты треугольника A_1B_1C_1.
Задание учебника 2023 года
На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.
