Упр.821 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2023)
Решение #3 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что биссектрисы образуют квадратС пояснением
Пусть ABCD — прямоугольник, а E, F, G, H — точки пересечения биссектрис углов A и B, B и C, C и D, D и A соответственно. Без ограничения общности считаем, что AB > BC.1) Каждый угол прямоугольника равен 90°, поэтому его биссектриса делит угол на углы по 45°. Следовательно, соседние биссектрисы перпендикулярны. Значит, все углы четырёхугольника EFGH прямые и EFGH — прямоугольник.2) В треугольнике ABE углы при A и B равны 45°, поэтому AE = BE. Аналогично BF = CF.3) Треугольники ABE и CDG равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: AB = CD, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 45°. Поэтому BE = CG.4) Так как точки E и F лежат на биссектрисе угла B, а точки F и G — на биссектрисе угла C, то
EF = BE − BF,
FG = CG − CF.
Поскольку BE = CG и BF = CF, получаем EF = FG.Итак, EFGH — прямоугольник с равными соседними сторонами, следовательно, EFGH — квадрат.Ответ: четырёхугольник, образованный биссектрисами, является квадратом.
Кратко Обозначим точки пересечения соседних биссектрис через E, F, G, H.1) Биссектрисы делят прямые углы пополам, поэтому соседние биссектрисы перпендикулярны. Значит, EFGH — прямоугольник.
2) Из равнобедренных треугольников ABE и BCF получаем BE = AE и BF = CF. Равные треугольники ABE и CDG дают BE = CG.
3) Поэтому EF = BE − BF = CG − CF = FG.Прямоугольник с равными соседними сторонами является квадратом.Ответ: EFGH — квадрат.
EF = BE − BF,
FG = CG − CF.
Поскольку BE = CG и BF = CF, получаем EF = FG.Итак, EFGH — прямоугольник с равными соседними сторонами, следовательно, EFGH — квадрат.Ответ: четырёхугольник, образованный биссектрисами, является квадратом.
Кратко Обозначим точки пересечения соседних биссектрис через E, F, G, H.1) Биссектрисы делят прямые углы пополам, поэтому соседние биссектрисы перпендикулярны. Значит, EFGH — прямоугольник.
2) Из равнобедренных треугольников ABE и BCF получаем BE = AE и BF = CF. Равные треугольники ABE и CDG дают BE = CG.
3) Поэтому EF = BE − BF = CG − CF = FG.Прямоугольник с равными соседними сторонами является квадратом.Ответ: EFGH — квадрат.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Точки A_1, B_1, C_1, D_1 являются серединами дуг АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что прямые A_1B_1 и B_1D_1 перпендикулярны.
Задание учебника 2023 года
При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат
