Упр.804 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что описанный прямоугольник — квадратС пояснением
Пусть около окружности описан прямоугольник ABCD.1) Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Поэтому для описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны:
AB + CD = BC + AD.2) В прямоугольнике противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Значит,
2AB = 2BC,
откуда AB = BC.3) Следовательно, две соседние стороны прямоугольника равны. Поэтому все его стороны равны, а прямоугольник является квадратом.Ответ: прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом.
Кратко У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
AB + CD = BC + AD.
Так как ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Поэтому 2AB = 2BC, значит, AB = BC. Следовательно, прямоугольник ABCD — квадрат.Ответ: данный прямоугольник является квадратом.
AB + CD = BC + AD.2) В прямоугольнике противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Значит,
2AB = 2BC,
откуда AB = BC.3) Следовательно, две соседние стороны прямоугольника равны. Поэтому все его стороны равны, а прямоугольник является квадратом.Ответ: прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом.
Кратко У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
AB + CD = BC + AD.
Так как ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Поэтому 2AB = 2BC, значит, AB = BC. Следовательно, прямоугольник ABCD — квадрат.Ответ: данный прямоугольник является квадратом.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Выразить векторы через a и bС пояснением
1) Обозначим \(\overrightarrow{BC}=\mathbf x\). Так как \(AD=3BC\) и основания сонаправлены, то \(\overrightarrow{AD}=3\mathbf x\).2) Вектор \(\overrightarrow{BD}\) выразим двумя способами:
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\mathbf a+3\mathbf x\),
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\mathbf x+\mathbf b\).
Значит, \(\mathbf a+3\mathbf x=\mathbf x+\mathbf b\), откуда
\(\displaystyle \mathbf x=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).3) Поскольку \(AK=\dfrac13AD=BC\), то \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BC}=\mathbf x\). Поэтому
\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\mathbf x+\mathbf a+\mathbf x=\mathbf a\).4) \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=3\mathbf x-\mathbf x=2\mathbf x=\mathbf b-\mathbf a\).Ответ: \(\overrightarrow{CK}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{KD}=\mathbf b-\mathbf a\), \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).
Кратко Пусть \(\overrightarrow{BC}=\mathbf x\). Тогда \(\overrightarrow{AD}=3\mathbf x\), поэтому
\(\mathbf a+3\mathbf x=\mathbf x+\mathbf b\),
\(\displaystyle \mathbf x=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).Так как \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BC}=\mathbf x\), получаем:
\(\overrightarrow{CK}=\mathbf a\),
\(\overrightarrow{KD}=2\mathbf x=\mathbf b-\mathbf a\).Ответ: \(\overrightarrow{CK}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{KD}=\mathbf b-\mathbf a\), \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\mathbf a+3\mathbf x\),
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\mathbf x+\mathbf b\).
Значит, \(\mathbf a+3\mathbf x=\mathbf x+\mathbf b\), откуда
\(\displaystyle \mathbf x=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).3) Поскольку \(AK=\dfrac13AD=BC\), то \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BC}=\mathbf x\). Поэтому
\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\mathbf x+\mathbf a+\mathbf x=\mathbf a\).4) \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=3\mathbf x-\mathbf x=2\mathbf x=\mathbf b-\mathbf a\).Ответ: \(\overrightarrow{CK}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{KD}=\mathbf b-\mathbf a\), \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).
Кратко Пусть \(\overrightarrow{BC}=\mathbf x\). Тогда \(\overrightarrow{AD}=3\mathbf x\), поэтому
\(\mathbf a+3\mathbf x=\mathbf x+\mathbf b\),
\(\displaystyle \mathbf x=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).Так как \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BC}=\mathbf x\), получаем:
\(\overrightarrow{CK}=\mathbf a\),
\(\overrightarrow{KD}=2\mathbf x=\mathbf b-\mathbf a\).Ответ: \(\overrightarrow{CK}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{KD}=\mathbf b-\mathbf a\), \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{\mathbf b-\mathbf a}{2}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.
Задание учебника 2023 года
Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена такая точка К, что АК = 1/3AD. Выразите векторы СК, KD и ВС через векторы а = В А и b = CD.
