Упр.801 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать постоянство угла CBDС пояснением
Обозначим первую окружность через ω₁, а вторую — через ω₂. Будем рассматривать направленные углы по модулю 180°.1) Точки A, B, C лежат на окружности ω₁. Поэтому угол BCA опирается на постоянную хорду BA и не зависит от положения точки C на этой окружности.2) Точки A, B, D лежат на окружности ω₂. Значит, угол ADB также опирается на постоянную хорду AB и не зависит от положения точки D.3) Поскольку точки C, A и D лежат на одной прямой m, имеем
∠CBD = ∠BCA + ∠ADB (по модулю 180°).Оба угла в правой части постоянны, следовательно, постоянна и величина угла CBD.Ответ: величина угла CBD не зависит от выбора прямой m.
Кратко Точки A, B, C лежат на одной окружности, поэтому ∠BCA, опирающийся на хорду AB, постоянен. Аналогично, ∠ADB постоянен для второй окружности. Так как C, A и D лежат на одной прямой, то для направленных углов
∠CBD = ∠BCA + ∠ADB (по модулю 180°).
Следовательно, ∠CBD не зависит от выбора прямой m.Ответ: угол CBD имеет постоянную величину.
∠CBD = ∠BCA + ∠ADB (по модулю 180°).Оба угла в правой части постоянны, следовательно, постоянна и величина угла CBD.Ответ: величина угла CBD не зависит от выбора прямой m.
Кратко Точки A, B, C лежат на одной окружности, поэтому ∠BCA, опирающийся на хорду AB, постоянен. Аналогично, ∠ADB постоянен для второй окружности. Так как C, A и D лежат на одной прямой, то для направленных углов
∠CBD = ∠BCA + ∠ADB (по модулю 180°).
Следовательно, ∠CBD не зависит от выбора прямой m.Ответ: угол CBD имеет постоянную величину.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать двойное неравенство для длин векторовС пояснением
1) Отложим от точки O вектор OA = x, а от точки A — вектор AB = y. Тогда по правилу треугольника OB = x + y.2) По неравенству треугольника длина одной стороны не больше суммы длин двух других:
|OB| ≤ |OA| + |AB|.
Значит,
|x + y| ≤ |x| + |y|.3) Применим то же неравенство к стороне OA:
|OA| ≤ |OB| + |BA|.
Так как |BA| = |y|, получаем
|x| ≤ |x + y| + |y|,
откуда
|x| − |y| ≤ |x + y|.Объединяя оба результата, получаем:
|x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.Ответ: неравенства доказаны.
Кратко Пусть OA = x, AB = y. Тогда OB = x + y. По неравенству треугольника:
|OB| ≤ |OA| + |AB|, то есть |x + y| ≤ |x| + |y|;
|OA| ≤ |OB| + |BA|, то есть |x| − |y| ≤ |x + y|.Ответ: |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
|OB| ≤ |OA| + |AB|.
Значит,
|x + y| ≤ |x| + |y|.3) Применим то же неравенство к стороне OA:
|OA| ≤ |OB| + |BA|.
Так как |BA| = |y|, получаем
|x| ≤ |x + y| + |y|,
откуда
|x| − |y| ≤ |x + y|.Объединяя оба результата, получаем:
|x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.Ответ: неравенства доказаны.
Кратко Пусть OA = x, AB = y. Тогда OB = x + y. По неравенству треугольника:
|OB| ≤ |OA| + |AB|, то есть |x + y| ≤ |x| + |y|;
|OA| ≤ |OB| + |BA|, то есть |x| − |y| ≤ |x + y|.Ответ: |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла CBD не зависит от выбора прямой m.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что для любых векторов х и у справедливы неравенства |x|-|y| < |[+y| < |x|+|y|.
