Упр.810 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать признак вписанного четырёхугольникаС пояснением
Пусть в четырёхугольнике ABCD выполнено ∠A + ∠C = 180°.1) Проведём окружность через точки A, B и D. Пусть она второй раз пересекает луч BC в точке C₁.
2) Четырёхугольник ABC₁D вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°:
∠BAD + ∠BC₁D = 180°.
3) По условию ∠BAD + ∠BCD = 180°, следовательно,
∠BC₁D = ∠BCD.
4) Точки B, C и C₁ лежат на одной прямой. Из равенства углов следует, что прямые C₁D и CD совпадают. Значит, C₁ = C.Следовательно, точка C лежит на окружности, проходящей через A, B и D.Ответ: около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Кратко Проведём окружность через A, B и D; её второе пересечение с лучом BC обозначим C₁. Для вписанного четырёхугольника ABC₁D:
∠BAD + ∠BC₁D = 180°.
По условию ∠BAD + ∠BCD = 180°, поэтому ∠BC₁D = ∠BCD. Так как B, C и C₁ лежат на одной прямой, то C₁D и CD совпадают, откуда C₁ = C.Ответ: точка C лежит на окружности через A, B и D, поэтому около ABCD можно описать окружность.
2) Четырёхугольник ABC₁D вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°:
∠BAD + ∠BC₁D = 180°.
3) По условию ∠BAD + ∠BCD = 180°, следовательно,
∠BC₁D = ∠BCD.
4) Точки B, C и C₁ лежат на одной прямой. Из равенства углов следует, что прямые C₁D и CD совпадают. Значит, C₁ = C.Следовательно, точка C лежит на окружности, проходящей через A, B и D.Ответ: около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Кратко Проведём окружность через A, B и D; её второе пересечение с лучом BC обозначим C₁. Для вписанного четырёхугольника ABC₁D:
∠BAD + ∠BC₁D = 180°.
По условию ∠BAD + ∠BCD = 180°, поэтому ∠BC₁D = ∠BCD. Так как B, C и C₁ лежат на одной прямой, то C₁D и CD совпадают, откуда C₁ = C.Ответ: точка C лежит на окружности через A, B и D, поэтому около ABCD можно описать окружность.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать принадлежность точки пересечения биссектрис средней линииС пояснением
Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC, AB — боковая сторона, а биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P. Обозначим середину AB через M.1) Так как AD ∥ BC, то ∠A + ∠B = 180°. Поэтому угол между их биссектрисами равен 90°, то есть ∠APB = 90°.2) В прямоугольном треугольнике APB точка M — середина гипотенузы AB. Значит, MA = MP.3) Треугольник AMP равнобедренный, поэтому ∠MAP = ∠APM. Биссектриса AP делит угол A пополам, следовательно, ∠MAP = ∠PAD. Отсюда ∠APM = ∠PAD, поэтому MP ∥ AD.4) Прямая MP проходит через середину боковой стороны AB и параллельна основаниям трапеции. Следовательно, она содержит среднюю линию трапеции, а точка P лежит на этой прямой.Ответ: вершина угла, образованного биссектрисами, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Кратко Пусть биссектрисы углов A и B трапеции ABCD, где AD ∥ BC, пересекаются в точке P, а M — середина AB.Так как ∠A + ∠B = 180°, то ∠APB = 90°. В прямоугольном треугольнике APB середина гипотенузы равноудалена от его вершин, поэтому MA = MP. Значит, ∠MAP = ∠APM. Но AP — биссектриса, поэтому ∠MAP = ∠PAD. Следовательно, MP ∥ AD.Прямая MP проходит через середину боковой стороны и параллельна основаниям, поэтому содержит среднюю линию трапеции.Ответ: точка P лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Кратко Пусть биссектрисы углов A и B трапеции ABCD, где AD ∥ BC, пересекаются в точке P, а M — середина AB.Так как ∠A + ∠B = 180°, то ∠APB = 90°. В прямоугольном треугольнике APB середина гипотенузы равноудалена от его вершин, поэтому MA = MP. Значит, ∠MAP = ∠APM. Но AP — биссектриса, поэтому ∠MAP = ∠PAD. Следовательно, MP ∥ AD.Прямая MP проходит через середину боковой стороны и параллельна основаниям, поэтому содержит среднюю линию трапеции.Ответ: точка P лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
