Упр.802 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать постоянство угла и вписанность четырёхугольникаС пояснением
Будем рассматривать углы между прямыми по модулю 180° — это позволяет не разбирать отдельно разные положения точек C и D.1) По теореме об угле между касательной и хордой:
∠(KC, CA) = ∠CBA,
∠(AD, DK) = ∠ABD.Так как точки C, A и D лежат на одной прямой, получаем:
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.2) Покажем, что ∠CBD постоянен. Угол ∠BCA — вписанный угол первой окружности, опирающийся на её неподвижную хорду AB. Поэтому он не зависит от положения прямой m. Аналогично ∠BDA — вписанный угол второй окружности, опирающийся на неподвижную хорду AB, и также постоянен.В треугольнике BCD углы при C и D постоянны, так как прямая CD совпадает с прямой CA и с прямой DA. Следовательно,
∠CBD = 180° − ∠BCD − ∠BDC
тоже постоянен. Значит, не зависит от выбора m и равный ему угол ∠CKD.3) Равенство ∠CKD = ∠CBD означает, что точки B и K видят отрезок CD под равными углами. По обратной теореме о вписанных углах точки B, C, K и D лежат на одной окружности.Ответ: а) угол CKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.
Кратко По теореме об угле между касательной и хордой и с учётом того, что C, A, D лежат на одной прямой,
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.Углы ∠BCA и ∠BDA опираются на одну и ту же неподвижную хорду AB в своих окружностях, поэтому они постоянны. Значит, в треугольнике BCD постоянен и угол ∠CBD, а следовательно, постоянен ∠CKD.Так как ∠CKD = ∠CBD, точки B и K видят отрезок CD под равными углами. Поэтому B, C, K, D лежат на одной окружности.Ответ: а) ∠CKD не зависит от выбора m; б) BCKD — вписанный четырёхугольник.
∠(KC, CA) = ∠CBA,
∠(AD, DK) = ∠ABD.Так как точки C, A и D лежат на одной прямой, получаем:
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.2) Покажем, что ∠CBD постоянен. Угол ∠BCA — вписанный угол первой окружности, опирающийся на её неподвижную хорду AB. Поэтому он не зависит от положения прямой m. Аналогично ∠BDA — вписанный угол второй окружности, опирающийся на неподвижную хорду AB, и также постоянен.В треугольнике BCD углы при C и D постоянны, так как прямая CD совпадает с прямой CA и с прямой DA. Следовательно,
∠CBD = 180° − ∠BCD − ∠BDC
тоже постоянен. Значит, не зависит от выбора m и равный ему угол ∠CKD.3) Равенство ∠CKD = ∠CBD означает, что точки B и K видят отрезок CD под равными углами. По обратной теореме о вписанных углах точки B, C, K и D лежат на одной окружности.Ответ: а) угол CKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.
Кратко По теореме об угле между касательной и хордой и с учётом того, что C, A, D лежат на одной прямой,
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.Углы ∠BCA и ∠BDA опираются на одну и ту же неподвижную хорду AB в своих окружностях, поэтому они постоянны. Значит, в треугольнике BCD постоянен и угол ∠CBD, а следовательно, постоянен ∠CKD.Так как ∠CKD = ∠CBD, точки B и K видят отрезок CD под равными углами. Поэтому B, C, K, D лежат на одной окружности.Ответ: а) ∠CKD не зависит от выбора m; б) BCKD — вписанный четырёхугольник.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Выразить вектор AN через a и bС пояснением
1) Так как BN = 2NC, то BC состоит из трёх равных частей, а BN составляет 2/3 вектора BC. Поэтому BN = 2/3b.
2) По правилу сложения векторов AN = AB + BN.
3) Так как a = BA, то AB = −a. Следовательно, AN = −a + 2/3b.
Ответ: AN = −a + 2/3b.
Кратко AN = AB + BN = −a + 2/3b.
Ответ: AN = −a + 2/3b.
2) По правилу сложения векторов AN = AB + BN.
3) Так как a = BA, то AB = −a. Следовательно, AN = −a + 2/3b.
Ответ: AN = −a + 2/3b.
Кратко AN = AB + BN = −a + 2/3b.
Ответ: AN = −a + 2/3b.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Через точки С и D проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке К. Докажите, что: а) величина угла CKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.
Задание учебника 2023 года
На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = ВА и b= ВС.
