Упр.808 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти радиус вписанной окружностиС пояснением
Пусть h — высота трапеции, c — её наклонная боковая сторона. Так как окружность касается обоих оснований, h = 2r.1) По свойству четырёхугольника, описанного около окружности:
a + b = h + c,
поэтому c = a + b − h.2) Разность оснований, высота и наклонная боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
c² = h² + (a − b)².3) Подставим c = a + b − h:
(a + b − h)² = h² + (a − b)²,
4ab = 2h(a + b),
h = 2ab/(a + b).4) Так как h = 2r, то
r = h/2 = ab/(a + b).Ответ: r = ab/(a + b).
Кратко Пусть h — высота трапеции. Тогда h = 2r.По свойству описанного четырёхугольника и теореме Пифагора:
(a + b − h)² = h² + (a − b)²,
откуда h = 2ab/(a + b).Следовательно,
r = h/2 = ab/(a + b).Ответ: r = ab/(a + b).
a + b = h + c,
поэтому c = a + b − h.2) Разность оснований, высота и наклонная боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
c² = h² + (a − b)².3) Подставим c = a + b − h:
(a + b − h)² = h² + (a − b)²,
4ab = 2h(a + b),
h = 2ab/(a + b).4) Так как h = 2r, то
r = h/2 = ab/(a + b).Ответ: r = ab/(a + b).
Кратко Пусть h — высота трапеции. Тогда h = 2r.По свойству описанного четырёхугольника и теореме Пифагора:
(a + b − h)² = h² + (a − b)²,
откуда h = 2ab/(a + b).Следовательно,
r = h/2 = ab/(a + b).Ответ: r = ab/(a + b).
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство сумм векторовС пояснением
Пусть K, L, M, N — последовательные вершины исходного четырёхугольника, а A, B, C, D — середины его сторон KL, LM, MN, NK соответственно.1) В треугольнике KLM отрезок AB — средняя линия, поэтому AB ∥ KM и AB = ½KM. В треугольнике KNM отрезок DC — средняя линия, поэтому DC ∥ KM и DC = ½KM. Следовательно, AB ∥ DC и AB = DC, значит, ABCD — параллелограмм.2) Обозначим точку пересечения его диагоналей AC и BD через P. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому P — середина и AC, и BD.3) Для любой точки O:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA})+(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{OP}\),
так как \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow0\).Аналогично,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).Следовательно,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
Кратко Соединим середины сторон исходного четырёхугольника. По свойству средней линии полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Пусть P — точка пересечения его диагоналей. Тогда P — середина AC и BD, поэтому
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}\),
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).
Значит, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA})+(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{OP}\),
так как \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow0\).Аналогично,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).Следовательно,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
Кратко Соединим середины сторон исходного четырёхугольника. По свойству средней линии полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Пусть P — точка пересечения его диагоналей. Тогда P — середина AC и BD, поэтому
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}\),
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).
Значит, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.
Задание учебника 2023 года
Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство OA + OC=OB + OD.
