Упр.807 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать существование вписанной окружностиС пояснением
Пусть ABCD — данный выпуклый четырёхугольник, причём AB + CD = BC + AD.1) Проведём биссектрисы углов B и C. Их точку пересечения обозначим O. Точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD, поэтому окружность с центром O, касающаяся BC, касается также прямых AB и CD.2) Из точки A проведём вторую касательную к этой окружности. Пусть она пересекает луч CD в точке D′. Тогда в четырёхугольник ABCD′ вписана окружность. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки,
AB + CD′ = BC + AD′.3) Сравним это равенство с условием:
AB + CD = BC + AD.
Получаем
CD − CD′ = AD − AD′.4) Если бы точки D и D′ не совпадали, то |CD − CD′| = DD′. Но в треугольнике ADD′ разность длин двух сторон меньше третьей:
|AD − AD′| < DD′.
Получилось бы противоречие. Значит, D = D′.Следовательно, прямая AD касается построенной окружности. Итак, окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника ABCD.Ответ: в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
Кратко Пусть AB + CD = BC + AD. Построим окружность, касающуюся прямых AB, BC и CD, а из A проведём к ней вторую касательную AD′, где D′ лежит на луче CD.Для четырёхугольника ABCD′ по свойству касательных:
AB + CD′ = BC + AD′.Сравнивая с условием, получаем
|CD − CD′| = |AD − AD′|.
Но |CD − CD′| = DD′, а по неравенству треугольника |AD − AD′| < DD′, если D ≠ D′. Следовательно, D = D′, поэтому AD также касается окружности.Ответ: в данный четырёхугольник можно вписать окружность.
AB + CD′ = BC + AD′.3) Сравним это равенство с условием:
AB + CD = BC + AD.
Получаем
CD − CD′ = AD − AD′.4) Если бы точки D и D′ не совпадали, то |CD − CD′| = DD′. Но в треугольнике ADD′ разность длин двух сторон меньше третьей:
|AD − AD′| < DD′.
Получилось бы противоречие. Значит, D = D′.Следовательно, прямая AD касается построенной окружности. Итак, окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника ABCD.Ответ: в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
Кратко Пусть AB + CD = BC + AD. Построим окружность, касающуюся прямых AB, BC и CD, а из A проведём к ней вторую касательную AD′, где D′ лежит на луче CD.Для четырёхугольника ABCD′ по свойству касательных:
AB + CD′ = BC + AD′.Сравнивая с условием, получаем
|CD − CD′| = |AD − AD′|.
Но |CD − CD′| = DD′, а по неравенству треугольника |AD − AD′| < DD′, если D ≠ D′. Следовательно, D = D′, поэтому AD также касается окружности.Ответ: в данный четырёхугольник можно вписать окружность.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство сумм векторовС пояснением
1) Так как A₁ — середина BC, то
2OA₁ = OB + OC.
Аналогично:
2OB₁ = OA + OC,
2OC₁ = OA + OB.2) Сложим эти равенства:
2(OA₁ + OB₁ + OC₁) = 2(OA + OB + OC).3) Разделив обе части равенства на 2, получим:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC.Ответ: равенство доказано.
Кратко Поскольку A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB, имеем:
OA₁ = (OB + OC)/2,
OB₁ = (OA + OC)/2,
OC₁ = (OA + OB)/2.Сложив равенства, получим:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC.Ответ: равенство доказано.
2OA₁ = OB + OC.
Аналогично:
2OB₁ = OA + OC,
2OC₁ = OA + OB.2) Сложим эти равенства:
2(OA₁ + OB₁ + OC₁) = 2(OA + OB + OC).3) Разделив обе части равенства на 2, получим:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC.Ответ: равенство доказано.
Кратко Поскольку A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB, имеем:
OA₁ = (OB + OC)/2,
OB₁ = (OA + OC)/2,
OC₁ = (OA + OB)/2.Сложив равенства, получим:
OA₁ + OB₁ + OC₁ = OA + OB + OC.Ответ: равенство доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Задание учебника 2023 года
Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC, О — произвольная точка. Докажите, что ОА + ОВ + ОС = 0А1 + ОВ1 + OC1.
