Упр.760 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать расположение одной окружности внутри другойС пояснением
Пусть O и O₁ — центры окружностей, их радиусы R и r, причём R > r. По условию OO₁ < R − r.1) Возьмём произвольную точку A окружности меньшего радиуса. Тогда O₁A = r.
2) По неравенству треугольника OA ≤ OO₁ + O₁A.
3) Поэтому OA < (R − r) + r = R.Значит, любая точка меньшей окружности находится внутри большей окружности. Следовательно, меньшая окружность целиком лежит внутри большей.Ответ: одна окружность лежит внутри другой.
Кратко Пусть R > r, OO₁ < R − r, а A — любая точка меньшей окружности. Тогда
OA ≤ OO₁ + O₁A < R − r + r = R.
Значит, каждая точка меньшей окружности находится внутри большей.Ответ: меньшая окружность лежит внутри большей.
2) По неравенству треугольника OA ≤ OO₁ + O₁A.
3) Поэтому OA < (R − r) + r = R.Значит, любая точка меньшей окружности находится внутри большей окружности. Следовательно, меньшая окружность целиком лежит внутри большей.Ответ: одна окружность лежит внутри другой.
Кратко Пусть R > r, OO₁ < R − r, а A — любая точка меньшей окружности. Тогда
OA ≤ OO₁ + O₁A < R − r + r = R.
Значит, каждая точка меньшей окружности находится внутри большей.Ответ: меньшая окружность лежит внутри большей.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать строгое неравенство треугольникаС пояснением
1) Отложим от точки O вектор OA = x, а от точки A — вектор AB = y.
2) По правилу треугольника OB = OA + AB = x + y.
3) Векторы x и y неколлинеарны, поэтому точки O, A и B не лежат на одной прямой и образуют треугольник OAB.
4) В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других:
OB < OA + AB.
Следовательно, |x + y| < |x| + |y|.Ответ: неравенство доказано.
Кратко Построим треугольник OAB так, что OA = x, AB = y. Тогда по правилу треугольника OB = x + y. Поскольку x и y неколлинеарны, треугольник OAB невырожденный, поэтому OB < OA + AB. Значит, |x + y| < |x| + |y|.Ответ: неравенство доказано.
2) По правилу треугольника OB = OA + AB = x + y.
3) Векторы x и y неколлинеарны, поэтому точки O, A и B не лежат на одной прямой и образуют треугольник OAB.
4) В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других:
OB < OA + AB.
Следовательно, |x + y| < |x| + |y|.Ответ: неравенство доказано.
Кратко Построим треугольник OAB так, что OA = x, AB = y. Тогда по правилу треугольника OB = x + y. Поскольку x и y неколлинеарны, треугольник OAB невырожденный, поэтому OB < OA + AB. Значит, |x + y| < |x| + |y|.Ответ: неравенство доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите утверждение 5 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой окружности.
Пусть A и B-центры окружностей с радиусами R и r, причем R > r, тогда AB < R-r, на окружности радиуса r отметим произвольную точку C, тогда по неравенству треугольника AB+BC > AC, R-r+r > AC и R > AC, то есть все точки меньшей окружности лежат внутри большей окружности, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство |x + y| < |x|+|y|.
