Упр.759 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать отсутствие общих точек у окружностейС пояснением
Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, их радиусы равны r₁ и r₂, причём O₁O₂ > r₁ + r₂.1) Возьмём произвольную точку M первой окружности. Тогда O₁M = r₁. По неравенству треугольника:
O₂M ≥ O₁O₂ − O₁M > r₁ + r₂ − r₁ = r₂.
Значит, точка M лежит вне второй окружности.2) Так как M — произвольная точка первой окружности, вся первая окружность лежит вне второй. Аналогично доказывается, что вся вторая окружность лежит вне первой.Следовательно, окружности не имеют общих точек.Ответ: если O₁O₂ > r₁ + r₂, окружности не пересекаются и каждая из них лежит вне другой.
Кратко Пусть радиусы окружностей равны r₁ и r₂, а расстояние между центрами d > r₁ + r₂. Для любой точки M первой окружности:
O₂M ≥ d − r₁ > r₂.
Поэтому все точки первой окружности лежат вне второй. Так же все точки второй окружности лежат вне первой, следовательно, общих точек нет.Ответ: окружности не имеют общих точек и лежат вне друг друга.
O₂M ≥ O₁O₂ − O₁M > r₁ + r₂ − r₁ = r₂.
Значит, точка M лежит вне второй окружности.2) Так как M — произвольная точка первой окружности, вся первая окружность лежит вне второй. Аналогично доказывается, что вся вторая окружность лежит вне первой.Следовательно, окружности не имеют общих точек.Ответ: если O₁O₂ > r₁ + r₂, окружности не пересекаются и каждая из них лежит вне другой.
Кратко Пусть радиусы окружностей равны r₁ и r₂, а расстояние между центрами d > r₁ + r₂. Для любой точки M первой окружности:
O₂M ≥ d − r₁ > r₂.
Поэтому все точки первой окружности лежат вне второй. Так же все точки второй окружности лежат вне первой, следовательно, общих точек нет.Ответ: окружности не имеют общих точек и лежат вне друг друга.
Решение #3(Учебник 2023)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите утверждение 4 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы радиусов этих окружностей, то окружности не имеют общих точек, причём одна окружность лежит вне другой окружности.
Пусть A и B-центры окружностей с радиусами R и r, причем R > =r,тогда AB > R+r, на окружности радиуса r отметим произвольную точку C, тогда по неравенству треугольника AC+BC > AB, AC+r > R+r, AC > R, то есть все точки одной из окружностей лежат вне другой окружности, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: a) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP.
