Упр.758 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать внешнее касание окружностейС пояснением
Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, а их радиусы равны R и r. По условию O₁O₂ = R + r.1) На отрезке O₁O₂ отметим точку A так, что O₁A = R. Тогда AO₂ = O₁O₂ − O₁A = R + r − R = r. Значит, точка A принадлежит обеим окружностям.2) Предположим, что у окружностей есть другая общая точка B. Тогда O₁B = R и BO₂ = r, поэтому O₁B + BO₂ = R + r = O₁O₂.3) Равенство O₁B + BO₂ = O₁O₂ возможно только тогда, когда точка B лежит на отрезке O₁O₂. Но на этом отрезке лишь одна точка находится на расстоянии R от O₁, поэтому B совпадает с A.Следовательно, окружности имеют единственную общую точку A, расположенную между их центрами. Поэтому они касаются внешним образом.Ответ: окружности касаются внешним образом.
Кратко Пусть O₁O₂ = R + r. На отрезке O₁O₂ возьмём точку A, для которой O₁A = R. Тогда AO₂ = r, поэтому A принадлежит обеим окружностям. Другой общей точки быть не может: для любой общей точки B выполнялось бы O₁B + BO₂ = R + r = O₁O₂, значит, B лежала бы на отрезке O₁O₂ и совпала бы с A.Ответ: окружности имеют одну общую точку и касаются внешним образом.
Кратко Пусть O₁O₂ = R + r. На отрезке O₁O₂ возьмём точку A, для которой O₁A = R. Тогда AO₂ = r, поэтому A принадлежит обеим окружностям. Другой общей точки быть не может: для любой общей точки B выполнялось бы O₁B + BO₂ = R + r = O₁O₂, значит, B лежала бы на отрезке O₁O₂ и совпала бы с A.Ответ: окружности имеют одну общую точку и касаются внешним образом.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить разности коллинеарных векторовС пояснением
1) Проведём одну горизонтальную прямую. Построим на ней вектор a длиной 3 клетки вправо и вектор b длиной 1 клетка вправо. Тогда |a| ≠ |b|.а) a − b = a + (−b): строим вектор длиной 2 клетки вправо.
б) b − a = b + (−a): строим вектор длиной 2 клетки влево.
в) −a + b = b − a: получаем тот же вектор длиной 2 клетки влево.2) Для случая |a| = |b| построим вектор a длиной 2 клетки вправо, а вектор b длиной 2 клетки влево.а) a − b — вектор длиной 4 клетки вправо.
б) b − a — вектор длиной 4 клетки влево.
в) −a + b = b − a — вектор длиной 4 клетки влево.Ответ: a − b и b − a — противоположные векторы, а −a + b = b − a.
Кратко При |a| ≠ |b| возьмём a = 3 клетки вправо, b = 1 клетка вправо:
а) a − b — 2 клетки вправо;
б) b − a — 2 клетки влево;
в) −a + b — 2 клетки влево.При |a| = |b| возьмём a = 2 клетки вправо, b = 2 клетки влево:
а) a − b — 4 клетки вправо;
б) b − a — 4 клетки влево;
в) −a + b — 4 клетки влево.Ответ: −a + b = b − a; векторы a − b и b − a противоположны.
б) b − a = b + (−a): строим вектор длиной 2 клетки влево.
в) −a + b = b − a: получаем тот же вектор длиной 2 клетки влево.2) Для случая |a| = |b| построим вектор a длиной 2 клетки вправо, а вектор b длиной 2 клетки влево.а) a − b — вектор длиной 4 клетки вправо.
б) b − a — вектор длиной 4 клетки влево.
в) −a + b = b − a — вектор длиной 4 клетки влево.Ответ: a − b и b − a — противоположные векторы, а −a + b = b − a.
Кратко При |a| ≠ |b| возьмём a = 3 клетки вправо, b = 1 клетка вправо:
а) a − b — 2 клетки вправо;
б) b − a — 2 клетки влево;
в) −a + b — 2 клетки влево.При |a| = |b| возьмём a = 2 клетки вправо, b = 2 клетки влево:
а) a − b — 4 клетки вправо;
б) b − a — 4 клетки влево;
в) −a + b — 4 клетки влево.Ответ: −a + b = b − a; векторы a − b и b − a противоположны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.
Пусть A и B-центры окружностей с радиусами R и r, причем R > =r,на отрезке AB отложим отрезок AK=R, тогда AB=R+r и BK=AB-AK=r, то есть точка K является общей точкой окружностей, на окружности
радиуса r отметим произвольную точку C, тогда по неравенству треугольника AC > AB-BC, отсюда AC > R, значит все точки меньшей окружности лежат вне другой, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так, чтобы |а| не равен |b|. Постройте векторы: а а - b; б) b - а; в) -а + b. Выполните ещё раз построение для случая, когда |а| = |b|.
