Упр.669 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти основание равнобедренного треугольникаС пояснением
Пусть BC — основание, AD — высота, O — центр вписанной окружности, OD = r — её радиус. Обозначим половину основания BD через x. Тогда BC = 2x, а полупериметр треугольника равен 60 + x.1) AO : OD = 12 : 5, поэтому AD : OD = 17 : 5, то есть AD : r = 17 : 5.2) Площадь треугольника через основание и высоту:
S = BC · AD : 2 = 2x · AD : 2 = x · AD.3) Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр:
S = r(60 + x).4) Приравняем площади:
x · AD = r(60 + x).
Так как AD : r = 17 : 5, получаем:
17x = 5(60 + x),
17x = 300 + 5x,
12x = 300,
x = 25 (см).5) 25 · 2 = 50 (см) — основание треугольника.Ответ: 50 см.
Кратко Пусть x — половина основания, r — радиус вписанной окружности. Из отношения 12 : 5 получаем AD : r = 17 : 5.1) 17x = 5(60 + x), откуда x = 25 (см).
2) 25 · 2 = 50 (см) — основание.Ответ: 50 см.
S = BC · AD : 2 = 2x · AD : 2 = x · AD.3) Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр:
S = r(60 + x).4) Приравняем площади:
x · AD = r(60 + x).
Так как AD : r = 17 : 5, получаем:
17x = 5(60 + x),
17x = 300 + 5x,
12x = 300,
x = 25 (см).5) 25 · 2 = 50 (см) — основание треугольника.Ответ: 50 см.
Кратко Пусть x — половина основания, r — радиус вписанной окружности. Из отношения 12 : 5 получаем AD : r = 17 : 5.1) 17x = 5(60 + x), откуда x = 25 (см).
2) 25 · 2 = 50 (см) — основание.Ответ: 50 см.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить среднее пропорциональное двух отрезковС пояснением
Пусть даны отрезки длиной a и b.1) На прямой отложим последовательно отрезки AB = a и BC = b.
2) Построим окружность с диаметром AC.
3) Через точку B проведём перпендикуляр к AC. Пусть он пересечёт окружность в точке D.
4) Отрезок BD — высота прямоугольного треугольника ADC, проведённая к гипотенузе AC. Поэтому BD² = AB · BC, то есть AB : BD = BD : BC.Следовательно, BD является средним пропорциональным для данных отрезков.Ответ: искомый отрезок — BD.
Кратко 1) Отложим на одной прямой AB = a и BC = b.
2) Построим окружность с диаметром AC.
3) В точке B восстановим перпендикуляр к AC до пересечения с окружностью в точке D.Так как AB : BD = BD : BC, отрезок BD — среднее пропорциональное.Ответ: BD.
2) Построим окружность с диаметром AC.
3) Через точку B проведём перпендикуляр к AC. Пусть он пересечёт окружность в точке D.
4) Отрезок BD — высота прямоугольного треугольника ADC, проведённая к гипотенузе AC. Поэтому BD² = AB · BC, то есть AB : BD = BD : BC.Следовательно, BD является средним пропорциональным для данных отрезков.Ответ: искомый отрезок — BD.
Кратко 1) Отложим на одной прямой AB = a и BC = b.
2) Построим окружность с диаметром AC.
3) В точке B восстановим перпендикуляр к AC до пересечения с окружностью в точке D.Так как AB : BD = BD : BC, отрезок BD — среднее пропорциональное.Ответ: BD.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.
Дано:
O-ц.вп.окр;
BO:OH=12:5;
AB=BC=60 см;
Найти:
AC-?;
Решение:
1) Рассмотрим треугольник AHB и треугольник OEB:
угол B-общий; угол H=угол E=90°;
По первому признаку:
треугольник AHB=треугольник OEB, OE/AH=BE/BH=BO/AB;
2) В равнобедренном треугольник ABC:
OE=OH=r, BO=12/5 OH=12/5 r;
AH=(OE•AB)/BO=r•60•5/(12•r)=25;
AH=1/2•AC, AC=2•AH=50;
Ответ: 50 см.
Задание учебника 2023 года
Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.
