Упр.647 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти стороны CD и DEС пояснением
1) CE = CF + EF = 8 + 12 = 20 (см).2) Так как противоположные стороны ромба параллельны, MF ∥ DE и FN ∥ CD. Поэтому параллельные прямые отсекают на сторонах треугольника пропорциональные отрезки:
DM/CD = EF/CE = 12/20 = 3/5,
DN/DE = CF/CE = 8/20 = 2/5.3) У ромба DM = DN, значит 3/5 · CD = 2/5 · DE. Следовательно, CD : DE = 2 : 3.4) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).5) 35 : (2 + 3) = 7 (см) — приходится на одну часть.6) CD = 7 · 2 = 14 (см),
DE = 7 · 3 = 21 (см).Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
Кратко 1) CE = 8 + 12 = 20 (см).
2) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).
3) Из параллельности противоположных сторон ромба и равенства DM = DN получаем CD : DE = 2 : 3.
4) CD = 35 · 2/5 = 14 (см), DE = 35 · 3/5 = 21 (см).
Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
DM/CD = EF/CE = 12/20 = 3/5,
DN/DE = CF/CE = 8/20 = 2/5.3) У ромба DM = DN, значит 3/5 · CD = 2/5 · DE. Следовательно, CD : DE = 2 : 3.4) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).5) 35 : (2 + 3) = 7 (см) — приходится на одну часть.6) CD = 7 · 2 = 14 (см),
DE = 7 · 3 = 21 (см).Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
Кратко 1) CE = 8 + 12 = 20 (см).
2) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).
3) Из параллельности противоположных сторон ромба и равенства DM = DN получаем CD : DE = 2 : 3.
4) CD = 35 · 2/5 = 14 (см), DE = 35 · 3/5 = 21 (см).
Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Определить, является ли АН касательной
Определить, является ли АН касательнойС пояснением
1) Треугольник АОН прямоугольный, так как АН перпендикулярна ОН.
2) По теореме Пифагора:
ОН² = ОА² − АН² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9,
значит, ОН = 3 см.
3) ОН равен радиусу окружности, поэтому точка Н лежит на окружности. Прямая АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, прямая АН является касательной к окружности.
Кратко ОН² = 5² − 4² = 9, поэтому ОН = 3 см. ОН равен радиусу окружности, а АН ⟂ ОН. Следовательно, АН — касательная.
Ответ: да.
2) По теореме Пифагора:
ОН² = ОА² − АН² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9,
значит, ОН = 3 см.
3) ОН равен радиусу окружности, поэтому точка Н лежит на окружности. Прямая АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, прямая АН является касательной к окружности.
Кратко ОН² = 5² − 4² = 9, поэтому ОН = 3 см. ОН равен радиусу окружности, а АН ⟂ ОН. Следовательно, АН — касательная.
Ответ: да.
Разбор 2 Определить, является ли АН касательной
Определить, является ли АН касательнойС пояснением
1) Так как АН перпендикулярна прямой ОН, то ∠АНО = 90°.
2) В прямоугольном треугольнике АНО ∠НАО = 45°, поэтому ∠АОН = 45°. Значит, треугольник АНО равнобедренный: АН = ОН.
3) По теореме Пифагора:
ОН² + АН² = ОА²,
2ОН² = 4²,
ОН² = 8.
Так как 8 < 9, то ОН < 3 см, то есть расстояние от центра окружности до прямой АН меньше радиуса. Следовательно, прямая АН пересекает окружность в двух точках и не является касательной.
Ответ: нет, прямая АН не является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО углы при А и О равны 45°, поэтому АН = ОН.
ОН² + АН² = 4²;
2ОН² = 16;
ОН² = 8 < 9 = 3².
Значит, ОН < 3 см, поэтому прямая АН пересекает окружность в двух точках.
Ответ: нет, АН не является касательной.
2) В прямоугольном треугольнике АНО ∠НАО = 45°, поэтому ∠АОН = 45°. Значит, треугольник АНО равнобедренный: АН = ОН.
3) По теореме Пифагора:
ОН² + АН² = ОА²,
2ОН² = 4²,
ОН² = 8.
Так как 8 < 9, то ОН < 3 см, то есть расстояние от центра окружности до прямой АН меньше радиуса. Следовательно, прямая АН пересекает окружность в двух точках и не является касательной.
Ответ: нет, прямая АН не является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО углы при А и О равны 45°, поэтому АН = ОН.
ОН² + АН² = 4²;
2ОН² = 16;
ОН² = 8 < 9 = 3².
Значит, ОН < 3 см, поэтому прямая АН пересекает окружность в двух точках.
Ответ: нет, АН не является касательной.
Разбор 3 Определить, является ли АН касательной
Определить, является ли АН касательнойС пояснением
1) Треугольник АНО прямоугольный, так как АН перпендикулярна ОН.
2) ∠НАО = 30°, поэтому катет ОН, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы АО:
ОН = 6 : 2 = 3 (см).
3) ОН равен радиусу окружности, значит точка Н лежит на окружности. Так как АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, прямая АН является касательной к окружности.
Ответ: да, прямая АН является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО катет ОН лежит напротив угла 30°, поэтому:
1) ОН = 6 : 2 = 3 (см).
ОН — радиус, а АН ⟂ ОН, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, является.
2) ∠НАО = 30°, поэтому катет ОН, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы АО:
ОН = 6 : 2 = 3 (см).
3) ОН равен радиусу окружности, значит точка Н лежит на окружности. Так как АН перпендикулярна радиусу ОН в точке Н, прямая АН является касательной к окружности.
Ответ: да, прямая АН является касательной.
Кратко В прямоугольном треугольнике АНО катет ОН лежит напротив угла 30°, поэтому:
1) ОН = 6 : 2 = 3 (см).
ОН — радиус, а АН ⟂ ОН, следовательно, АН — касательная.
Ответ: да, является.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.
Задание учебника 2023 года
Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5см, АН = 4 см; б) угол HAO = 45°, ОА = 4 см; в) угол HAO = 30°, ОА = 6 см?
